Derivada de (x+pi/4)(sin(x)+cos(x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(4 x + \pi\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$ y $g{\left(x \right)} = 4$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 4 x + \pi$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $4 x + \pi$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $\pi$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de: $4$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $\left(4 x + \pi\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 4 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(4 x + \pi\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{4} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{2} \left(4 x + \pi\right) \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(4 x + \pi\right) \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$