Sr Examen
Ecuación diferencial e^(5y)*dy=dx/sqrt(x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 5*y(x) 1
--(y(x))*e = -----
dx ___
\/ x
$$e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
exp(5*y)*y' = 1/sqrt(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{- 5 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{- 5 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$dy e^{5 y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{5 y}\, dy = \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{e^{5 y}}{5} = Const + 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} + 10 \sqrt{x} \right)}}{5}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt[5]{5} - \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4} \right)}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt[5]{5} + \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4} \right)}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt[5]{5} + 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4} \right)}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt[5]{5} + 5^{\frac{7}{10}} + \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4} \right)}$$
$$e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{- 5 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{- 5 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{5 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$dy e^{5 y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{5 y}\, dy = \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{e^{5 y}}{5} = Const + 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} + 10 \sqrt{x} \right)}}{5}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt[5]{5} - \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4} \right)}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt[5]{5} + \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4} \right)}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt[5]{5} + 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4} \right)}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt[5]{5} + 5^{\frac{7}{10}} + \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ___\
log\C1 + 10*\/ x /
y(x) = ------------------
5
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} + 10 \sqrt{x} \right)}}{5}$$
/ ______________ / ___________\\
|5 / ___ | 5 ___ 7/10 ___ 5 ___ / ___ ||
|\/ C1 + 2*\/ x *\- \/ 5 - 5 - I*\/ 2 *\/ 5 *\/ 5 - \/ 5 /|
y(x) = log|------------------------------------------------------------------|
\ 4 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt[5]{5} - \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4} \right)}$$
/ ______________ / ___________\\
|5 / ___ | 5 ___ 7/10 ___ 5 ___ / ___ ||
|\/ C1 + 2*\/ x *\- \/ 5 - 5 + I*\/ 2 *\/ 5 *\/ 5 - \/ 5 /|
y(x) = log|------------------------------------------------------------------|
\ 4 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt[5]{5} + \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4} \right)}$$
/ ______________ / ___________\\
|5 / ___ | 7/10 5 ___ ___ 5 ___ / ___ ||
|\/ C1 + 2*\/ x *\5 - \/ 5 - I*\/ 2 *\/ 5 *\/ 5 + \/ 5 /|
y(x) = log|----------------------------------------------------------------|
\ 4 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt[5]{5} + 5^{\frac{7}{10}} - \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4} \right)}$$
/ ______________ / ___________\\
|5 / ___ | 7/10 5 ___ ___ 5 ___ / ___ ||
|\/ C1 + 2*\/ x *\5 - \/ 5 + I*\/ 2 *\/ 5 *\/ 5 + \/ 5 /|
y(x) = log|----------------------------------------------------------------|
\ 4 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[5]{C_{1} + 2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt[5]{5} + 5^{\frac{7}{10}} + \sqrt{2} \sqrt[5]{5} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)