Ecuación diferencial tx'=xlnx

Tenemos la ecuación:
$$t \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x{\left(t \right)} \log{\left(x{\left(t \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - x{\left(t \right)} \log{\left(x{\left(t \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- x{\left(t \right)} \log{\left(x{\left(t \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x{\left(t \right)} \log{\left(x{\left(t \right)} \right)}} = - \frac{1}{t}$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x{\left(t \right)} \log{\left(x{\left(t \right)} \right)}} = - \frac{dt}{t}$$
o
$$- \frac{dx}{x{\left(t \right)} \log{\left(x{\left(t \right)} \right)}} = - \frac{dt}{t}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx = \int \left(- \frac{1}{t}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = Const - \log{\left(t \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = e^{C_{1} t}$$