Ecuación diferencial sin(3x)dx+2y(cos(3x))^3dy=0

Tenemos la ecuación:
$$2 y{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx \sin{\left(3 x \right)}}{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = - \frac{dx \sin{\left(3 x \right)}}{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{1}{12 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 6}}{6 \cos{\left(3 x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 6}}{6 \cos{\left(3 x \right)}}$$