Sr Examen
Ecuación diferencial dx+2dx-1=ydy-y+dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
1 d y(x) d
3 - -- = --(y(x))*y(x) - ---- + --(y(x))
dx dx dx dx
$$3 - \frac{1}{dx} = y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{y{\left(x \right)}}{dx}$$
3 - 1/dx = y*y' + y' - y/dx
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{y{\left(x \right)}}{dx} = 3 - \frac{1}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{3 dx + y{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{3 dx + y{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 dx + y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{1}{dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 dx + y{\left(x \right)} - 1} = -1$$
o
$$- \frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{3 dx + y{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y + 1}{3 dx + y - 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{dx}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y - \left(2 - 3 dx\right) \log{\left(3 dx + y - 1 \right)} = Const - \frac{x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 3 dx W\left(- \frac{e^{- \frac{C_{1} + 3 dx + \frac{x}{dx}}{3 dx - 2}} e^{\frac{1}{3 dx - 2}}}{3 dx - 2}\right) - 3 dx + 2 W\left(- \frac{e^{- \frac{C_{1} + 3 dx + \frac{x}{dx}}{3 dx - 2}} e^{\frac{1}{3 dx - 2}}}{3 dx - 2}\right) + 1$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{y{\left(x \right)}}{dx} = 3 - \frac{1}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{3 dx + y{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{3 dx + y{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 dx + y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{1}{dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 dx + y{\left(x \right)} - 1} = -1$$
o
$$- \frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{3 dx + y{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y + 1}{3 dx + y - 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{dx}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y - \left(2 - 3 dx\right) \log{\left(3 dx + y - 1 \right)} = Const - \frac{x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 3 dx W\left(- \frac{e^{- \frac{C_{1} + 3 dx + \frac{x}{dx}}{3 dx - 2}} e^{\frac{1}{3 dx - 2}}}{3 dx - 2}\right) - 3 dx + 2 W\left(- \frac{e^{- \frac{C_{1} + 3 dx + \frac{x}{dx}}{3 dx - 2}} e^{\frac{1}{3 dx - 2}}}{3 dx - 2}\right) + 1$$
Respuesta
[src]
/ / x \ \ / / x \ \
| -|C1 + 3*dx + --| | | -|C1 + 3*dx + --| |
| 1 \ dx/ | | 1 \ dx/ |
| --------- ------------------ | | --------- ------------------ |
| -2 + 3*dx -2 + 3*dx | | -2 + 3*dx -2 + 3*dx |
|-e *e | |-e *e |
y(x) = 1 - 3*dx + 2*W|--------------------------------| - 3*dx*W|--------------------------------|
\ -2 + 3*dx / \ -2 + 3*dx /
$$y{\left(x \right)} = - 3 dx W\left(- \frac{e^{- \frac{C_{1} + 3 dx + \frac{x}{dx}}{3 dx - 2}} e^{\frac{1}{3 dx - 2}}}{3 dx - 2}\right) - 3 dx + 2 W\left(- \frac{e^{- \frac{C_{1} + 3 dx + \frac{x}{dx}}{3 dx - 2}} e^{\frac{1}{3 dx - 2}}}{3 dx - 2}\right) + 1$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral