Ecuación diferencial (y/x)dy+(sin(x)/cos(y))dx=0

Tenemos la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\frac{1}{x}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x \sin{\left(x \right)}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx x \sin{\left(x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y \cos{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$y \sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)} = Const + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - x \cos{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$