Ecuación diferencial dy/dx=e^(-2x+3y)

Tenemos la ecuación:
$$- e^{- 2 x + 3 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 2 x + 3 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{3}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) - e^{- 2 x} e^{2 x + u{\left(x \right)}} = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 2 - 3 e^{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$2 - 3 e^{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 e^{u{\left(x \right)}} - 2} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 e^{u{\left(x \right)}} - 2} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{3 e^{u{\left(x \right)}} - 2} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{3 e^{u} - 2}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(e^{u} - \frac{2}{3} \right)}}{2} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} - \frac{2}{3} \right)}}{2} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{3} + \frac{2 x}{3}$$