Ecuación diferencial (1-x²)d²y/dx²-2xdy/dx+2y=0

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{d^{2} x^{2} y{\left(x \right)}}{dx^{3}} + \frac{d^{2} y{\left(x \right)}}{dx^{3}} - \frac{2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx} + \frac{2 y{\left(x \right)}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- d^{2} x^{2} + d^{2} + 2 dx^{2}}{2 dx^{2} x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{- d^{2} x^{2} + d^{2} + 2 dx^{2}}{2 dx^{2} x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{- d^{2} x^{2} + d^{2} + 2 dx^{2}}{2 dx x}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{- d^{2} x^{2} + d^{2} + 2 dx^{2}}{2 dx x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{- d^{2} x^{2} + d^{2} + 2 dx^{2}}{2 dx^{2} x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{- \frac{d^{2} x^{2}}{2} - \left(- d^{2} - 2 dx^{2}\right) \log{\left(x \right)}}{2 dx^{2}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x e^{\frac{d^{2} \left(- x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}\right)}{4 dx^{2}}}$$