Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sqrt{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{3}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{3}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} = - \sqrt{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} = - dx \sqrt{x}$$
o
$$- \frac{dy \sqrt{y{\left(x \right)}}}{3} = - dx \sqrt{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{y}}{3}\right)\, dy = \int \left(- \sqrt{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{9} = Const - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + 3 x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(C_{1} + 3 x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(C_{1} + 3 x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$