Tenemos la ecuación:
$$- x \cos^{3}{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} + \left(x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + x \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x \cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x \cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{\cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{\cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{3}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{3}{\left(u \right)}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(u \right)}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)}$$
$$\operatorname{u_{4}} = u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(- \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)} + 2 \pi\right)$$
$$y2 = y(x) = x \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)} + 2 \pi\right)$$
$$y3 = y(x) = x \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)}$$
$$y4 = y(x) = x \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}}{2} \right)}$$