Sr Examen
Ecuación diferencial xcos^2*ydx+(x^2+1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d d
x*cos (y(x)) + x *--(y(x)) + --(y(x)) = 0
dx dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x^2*y' + x*cos(y)^2 + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{4 C_{1}^{2} - 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 4} - 2}{2 C_{1} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{4 C_{1}^{2} - 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 4} + 2}{2 C_{1} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} \right)}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{4 C_{1}^{2} - 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 4} - 2}{2 C_{1} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{4 C_{1}^{2} - 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 4} + 2}{2 C_{1} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ _____________________________________________\
| / 2/ 2\ 2 / 2\ |
|-2 + \/ 4 + log \1 + x / + 4*C1 - 4*C1*log\1 + x / |
y(x) = 2*atan|-----------------------------------------------------|
| / 2\ |
\ - log\1 + x / + 2*C1 /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{4 C_{1}^{2} - 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 4} - 2}{2 C_{1} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} \right)}$$
/ _____________________________________________\
| / 2/ 2\ 2 / 2\ |
|2 + \/ 4 + log \1 + x / + 4*C1 - 4*C1*log\1 + x / |
y(x) = -2*atan|----------------------------------------------------|
| / 2\ |
\ - log\1 + x / + 2*C1 /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{4 C_{1}^{2} - 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 4} + 2}{2 C_{1} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.867649808988302)
(-5.555555555555555, 0.9853730221068847)
(-3.333333333333333, 1.1055626961692522)
(-1.1111111111111107, 1.2319237837482213)
(1.1111111111111107, 1.2319239260698267)
(3.333333333333334, 1.1055624682141358)
(5.555555555555557, 0.9853726292640819)
(7.777777777777779, 0.8676493068179492)
(10.0, 0.7499993620064336)
(10.0, 0.7499993620064336)