Sr Examen
Ecuación diferencial (2*e^x*tg(y))dx+((1+(e^x))sec^2*y)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d x 2 d x
sec (y(x))*--(y(x)) + 2*e *tan(y(x)) + sec (y(x))*--(y(x))*e = 0
dx dx
$$2 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + e^{x} \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
2*exp(x)*tan(y) + exp(x)*sec(y)^2*y' + sec(y)^2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + e^{x} \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
$$2 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + e^{x} \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ x 3*x 2*x 4*x\
|1 + C1 + 4*e + 4*e + 6*e + e |
acos|--------------------------------------|
| x 3*x 2*x 4*x|
\1 - C1 + 4*e + 4*e + 6*e + e /
y(x) = pi - --------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
/ x 3*x 2*x 4*x\
|1 + C1 + 4*e + 4*e + 6*e + e |
acos|--------------------------------------|
| x 3*x 2*x 4*x|
\1 - C1 + 4*e + 4*e + 6*e + e /
y(x) = --------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{4 x} + 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} + 4 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7496274067301596)
(-5.555555555555555, 0.7461972868913392)
(-3.333333333333333, 0.7151947803620676)
(-1.1111111111111107, 0.48527978701993224)
(1.1111111111111107, 0.057084683404735194)
(3.333333333333334, 0.0011054121140114397)
(5.555555555555557, 1.3818004217856703e-05)
(7.777777777777779, 1.6388663670333822e-07)
(10.0, 2.086008612350772e-09)
(10.0, 2.086008612350772e-09)