Ecuación diferencial dx=sin(x+y)dy

Tenemos la ecuación:
$$- \sin{\left(x + y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$- \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) + 1 = 0$$
o
$$- \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -1 - \frac{1}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-1 - \frac{1}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)} + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u \tan{\left(\frac{u}{2} \right)}}{\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} + 1} - \frac{u}{\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} + 1} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} + 1} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} \right)}}{\tan{\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} \right)} + 1} - \frac{u{\left(x \right)}}{\tan{\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} \right)} + 1} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} \right)} + 1} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} - x$$