Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y'=2*y^2/x^3
- Ecuación y'=4*y/x
- Ecuación 6y''+7y'-3y=0
- Ecuación 3*x^3*y^2*y'/2=x-1
- Derivada de:
-
5*cos(x)
- Gráfico de la función y =:
-
5*cos(x)
-
Expresiones idénticas
- y''+ tres *y'+ cuatro *y= cinco *cos(x)
- y dos signos de prima para el segundo (2) orden más 3 multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más 4 multiplicar por y es igual a 5 multiplicar por coseno de (x)
- y dos signos de prima para el segundo (2) orden más tres multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más cuatro multiplicar por y es igual a cinco multiplicar por coseno de (x)
- y''+3y'+4y=5cos(x)
- y''+3y'+4y=5cosx
-
Expresiones semejantes
- 16y''+3y'+4y=4x
- xy''+3y'+4y=0
- y''+3*y'+4y=x^2-7*sin(x)
- y''+3*y'-4*y=5*cos(x)
- y''-y'-2y=5(cos(x)+sin(x))
- y''-3*y'+4*y=5*cos(x)
- 4y''+3y'+4y=0
- y'''-2y''+2y'=2*x+15cos(x)
- y''+3*y'+4*y=5*cosx
Ecuación diferencial y''+3*y'+4*y=5*cos(x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
3*--(y(x)) + 4*y(x) + ---(y(x)) = 5*cos(x)
dx 2
dx
$$4 y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
4*y + 3*y' + y'' = 5*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 3$$
$$q = 4$$
$$s = - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 3 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-3/2 - sqrt(7)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-3/2 + sqrt(7)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 + \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 - \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 + \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 - \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{5 \sqrt{7} i \left(\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{3 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i}\right)}{7}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{5 \sqrt{7} i \left(- \frac{2 e^{\frac{3 x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}} - \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{3 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}}\right)}{7}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{3 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{7} i x}{2}} + C_{4} e^{- \frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + \frac{15 \sqrt{7} i \sin{\left(x \right)}}{7 \left(-6 + 6 \sqrt{7} i\right)} - \frac{5 \sin{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{5 \sqrt{7} i \cos{\left(x \right)}}{7 \left(-6 + 6 \sqrt{7} i\right)} - \frac{15 \cos{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{10 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{7 \left(- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}\right)} + \frac{5 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}} + \frac{15 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7 \left(- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4 y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 3$$
$$q = 4$$
$$s = - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 3 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-3/2 - sqrt(7)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-3/2 + sqrt(7)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 + \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 - \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 + \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{5 \sqrt{7} i e^{\frac{x \left(3 - \sqrt{7} i\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{5 \sqrt{7} i \left(\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{3 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i}\right)}{7}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{5 \sqrt{7} i \left(- \frac{2 e^{\frac{3 x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}} - \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{3 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}}\right)}{7}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{3 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{7} i x}{2}} + C_{4} e^{- \frac{3 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + \frac{15 \sqrt{7} i \sin{\left(x \right)}}{7 \left(-6 + 6 \sqrt{7} i\right)} - \frac{5 \sin{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{5 \sqrt{7} i \cos{\left(x \right)}}{7 \left(-6 + 6 \sqrt{7} i\right)} - \frac{15 \cos{\left(x \right)}}{-6 + 6 \sqrt{7} i} + \frac{10 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{7 \left(- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}\right)} + \frac{5 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}} + \frac{15 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7 \left(- 3 e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}} + 3 \sqrt{7} i e^{\frac{\sqrt{7} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
-3*x
/ / ___\ / ___\\ ----
5*cos(x) 5*sin(x) | |x*\/ 7 | |x*\/ 7 || 2
y(x) = -------- + -------- + |C1*sin|-------| + C2*cos|-------||*e
6 6 \ \ 2 / \ 2 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{3 x}{2}} + \frac{5 \sin{\left(x \right)}}{6} + \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{6}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral