Ecuación diferencial dy/dx=2*k*(150-y)^2/9

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 k \left(150 - y{\left(x \right)}\right)^{2}}{9}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 k}{9}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 150\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\left(y{\left(x \right)} - 150\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 150\right)^{2}} = \frac{2 k}{9}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 150\right)^{2}} = \frac{2 dx k}{9}$$
o
$$\frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} - 150\right)^{2}} = \frac{2 dx k}{9}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\left(y - 150\right)^{2}}\, dy = \int \frac{2 k}{9}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y - 150} = Const + \frac{2 k x}{9}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{3 \left(450 C_{1} + 100 k x - 3\right)}{9 C_{1} + 2 k x}$$