Sr Examen
Ecuación diferencial (x+y)dx+(x+y-4)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d d
x - 4*--(y(x)) + x*--(y(x)) + --(y(x))*y(x) + y(x) = 0
dx dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y' + x + y*y' + y - 4*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)} - 4$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) + \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) + u{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) + 4 = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -4$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = -4$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 4 dx$$
o
$$du u{\left(x \right)} = - 4 dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int u\, du = \int \left(-4\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{u^{2}}{2} = Const - 4 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 8 x}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 8 x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)} + 4$$
$$y1 = y(x) = - x - \sqrt{C_{1} - 8 x} + 4$$
$$y2 = y(x) = - x + \sqrt{C_{1} - 8 x} + 4$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)} - 4$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) + \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) + u{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 4\right) + 4 = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -4$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = -4$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 4 dx$$
o
$$du u{\left(x \right)} = - 4 dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int u\, du = \int \left(-4\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{u^{2}}{2} = Const - 4 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 8 x}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 8 x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)} + 4$$
$$y1 = y(x) = - x - \sqrt{C_{1} - 8 x} + 4$$
$$y2 = y(x) = - x + \sqrt{C_{1} - 8 x} + 4$$
Respuesta
[src]
__________ y(x) = 4 - x - \/ C1 - 8*x
$$y{\left(x \right)} = - x - \sqrt{C_{1} - 8 x} + 4$$
__________ y(x) = 4 + \/ C1 - 8*x - x
$$y{\left(x \right)} = - x + \sqrt{C_{1} - 8 x} + 4$$
Clasificación
1st exact
1st power series
lie group
1st exact Integral