Sr Examen
Ecuación diferencial (e^x+1)dy/dx=y-ye^x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/ x\ d x
\1 + e /*--(y(x)) = - e *y(x) + y(x)
dx
$$\left(e^{x} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} e^{x} + y{\left(x \right)}$$
(exp(x) + 1)*y' = -y*exp(x) + y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(e^{x} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} e^{x} + y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - dx \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - x + 2 \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1}$$
$$\left(e^{x} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} e^{x} + y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - dx \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - x + 2 \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1}$$
Respuesta
[src]
x
C1*e
y(x) = ---------------
x 2*x
1 + 2*e + e
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral