Sr Examen
Ecuación diferencial ye^(2x)dx-(1+e^(2x))dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*x d 2*x - --(y(x)) + e *y(x) - --(y(x))*e = 0 dx dx
$$y{\left(x \right)} e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y*exp(2*x) - exp(2*x)*y' - y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{e^{2 x} + 1}$$
$$y{\left(x \right)} e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{e^{2 x} + 1}$$
Respuesta
[src]
__________
/ 2*x
y(x) = C1*\/ 1 + e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{e^{2 x} + 1}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral