Ecuación diferencial ysqrt(4+y^2)dx+(1+x^2)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \sqrt{y^{2} + 4}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\operatorname{asinh}{\left(\frac{2}{y} \right)}}{2} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{2}{\sinh{\left(C_{1} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}}$$