Sr Examen
Ecuación diferencial xdy+ydx+xydy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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d d x*--(y(x)) + x*--(y(x))*y(x) + y(x) = 0 dx dx
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
x*y*y' + x*y' + y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y + \log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y + \log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
Clasificación
separable
separable reduced
lie group
separable Integral
separable reduced Integral