Sr Examen

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Ecuación diferencial dx*y^2+dy*x^2*y+dy*x^2=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
 2       2 d           2 d                
y (x) + x *--(y(x)) + x *--(y(x))*y(x) = 0
           dx            dx               
$$x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
x^2*y*y' + x^2*y' + y^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y + 1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} - \frac{1}{y} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} + W\left(e^{- C_{1} - \frac{1}{x}}\right) + \frac{1}{x}}$$
Respuesta [src]
                  /       1\
                  | -C1 - -|
             1    |       x|
        C1 + - + W\e       /
             x              
y(x) = e                    
$$y{\left(x \right)} = e^{C_{1} + W\left(e^{- C_{1} - \frac{1}{x}}\right) + \frac{1}{x}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7409039269506591)
(-5.555555555555555, 0.7249628882718683)
(-3.333333333333333, 0.6898092568571411)
(-1.1111111111111107, 0.5490258510136315)
(1.1111111111111107, -0.9999999368977487)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.879315314017898e+160)
(7.777777777777779, 8.388243571810018e+296)
(10.0, 1.0759798446059127e-282)
(10.0, 1.0759798446059127e-282)