Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación (1-x)(y'+y)=e^(-x)
- Ecuación y''=-1/(2*y^3)
- Ecuación (2*x^2*y*log(y)-x)*y'=y
- Ecuación (2x+1)y'+y=x
- Derivada de:
-
dx/dt
- Límite de la función:
- (x-y)/(x+y)
-
Expresiones idénticas
- dx/dt=(x-y)/(x+y)
- dx dividir por dt es igual a (x menos y) dividir por (x más y)
- dx/dt=x-y/x+y
- dx dividir por dt=(x-y) dividir por (x+y)
-
Expresiones semejantes
- dx/dt=(x+y)/(x+y)
- dx/dt=(x-y)/(x-y)
- (dx)/(dt)=v
-
Expresiones con funciones
- dx
- dx*(2*x^2*y+2*y+5)+dy*(2*x^3+2*x)=0
- dx*(x/sqrt(x^2+y^2)+y)+dy*(x+y/sqrt(x^2+y^2))=0
- dx*sin(x)+dy/sqrt(y)=0
- dx*(e^y*x+4*x^3-y)+dy*(e^y*x^2/2-x+1)=0
- dx*e^(-y)+dy*(1-e^(-y)*x)=0
Ecuación diferencial dx/dt=(x-y)/(x+y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d -y + x(t) --(x(t)) = --------- dt y + x(t)
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
x' = (-y + x)/(y + x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y + x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y - x{\left(t \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \left(y + x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y - x{\left(t \right)}} = dt$$
o
$$- \frac{dx \left(y + x{\left(t \right)}\right)}{y - x{\left(t \right)}} = dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{x + y}{- x + y}\right)\, dx = \int 1\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$x + 2 y \log{\left(x - y \right)} = Const + t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = y \left(2 W\left(- \frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} + t}{y}}}}{2 y \sqrt{e^{1}}}\right) + 1\right)$$
$$\operatorname{x_{2}} = x{\left(t \right)} = y \left(2 W\left(\frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} + t}{y}}}}{2 y \sqrt{e^{1}}}\right) + 1\right)$$
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\frac{- y + x{\left(t \right)}}{y + x{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y + x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y - x{\left(t \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \left(y + x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y - x{\left(t \right)}} = dt$$
o
$$- \frac{dx \left(y + x{\left(t \right)}\right)}{y - x{\left(t \right)}} = dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{x + y}{- x + y}\right)\, dx = \int 1\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$x + 2 y \log{\left(x - y \right)} = Const + t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = y \left(2 W\left(- \frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} + t}{y}}}}{2 y \sqrt{e^{1}}}\right) + 1\right)$$
$$\operatorname{x_{2}} = x{\left(t \right)} = y \left(2 W\left(\frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} + t}{y}}}}{2 y \sqrt{e^{1}}}\right) + 1\right)$$
Respuesta
[src]
/ / _________ \\
| | / C1 + t ||
| | / ------ ||
| | / y -1/2 ||
| |-\/ e *e ||
x(t) = y*|1 + 2*W|----------------------||
\ \ 2*y //
$$x{\left(t \right)} = y \left(2 W\left(- \frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} + t}{y}}}}{2 y e^{\frac{1}{2}}}\right) + 1\right)$$
/ / _________ \\
| | / C1 + t ||
| | / ------ ||
| | / y -1/2||
| |\/ e *e ||
x(t) = y*|1 + 2*W|--------------------||
\ \ 2*y //
$$x{\left(t \right)} = y \left(2 W\left(\frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} + t}{y}}}}{2 y e^{\frac{1}{2}}}\right) + 1\right)$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral