sqrt(2x+3)+sqrt(x-2)=2*sqrt(x-1) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 x + 3} = 2 \sqrt{x - 1}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 x + 3}\right)^{2} = 4 x - 4$$
o
$$\left(-2\right)^{2} \left(x - 1\right) + \left(\left(-2\right) 2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 1^{2} \left(x - 2\right)\right) = 4 x - 4$$
o
$$5 x - 4 \sqrt{x^{2} - 3 x + 2} - 6 = 4 x - 4$$
cambiamos:
$$- 4 \sqrt{x^{2} - 3 x + 2} = 2 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$16 x^{2} - 48 x + 32 = \left(2 - x\right)^{2}$$
$$16 x^{2} - 48 x + 32 = x^{2} - 4 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$15 x^{2} - 44 x + 28 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 15$$
$$b = -44$$
$$c = 28$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-44)^2 - 4 * (15) * (28) = 256

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{14}{15}$$

Como
$$\sqrt{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} - 3 x + 2} \geq 0$$
entonces
$$\frac{x}{4} - \frac{1}{2} \geq 0$$
o
$$2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 2$$
comprobamos:
$$x_{1} = 2$$
$$\sqrt{x_{1} - 2} - 2 \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{2 x_{1} + 3} = 0$$
=
$$- 2 \sqrt{-1 + 2} + \left(\sqrt{-2 + 2} + \sqrt{3 + 2 \cdot 2}\right) = 0$$
=

-2 + sqrt(7) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones