sqrt(x+1)=8-sqrt(3x+1) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 1} = 8 - \sqrt{3 x + 1}$$
cambiamos:
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 x + 1} = 8$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)^{2} = 64$$
o
$$1^{2} \left(3 x + 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 1\right) \left(3 x + 1\right)} + 1^{2} \left(x + 1\right)\right) = 64$$
o
$$4 x + 2 \sqrt{3 x^{2} + 4 x + 1} + 2 = 64$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{3 x^{2} + 4 x + 1} = 62 - 4 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$12 x^{2} + 16 x + 4 = \left(62 - 4 x\right)^{2}$$
$$12 x^{2} + 16 x + 4 = 16 x^{2} - 496 x + 3844$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 512 x - 3840 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 512$$
$$c = -3840$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(512)^2 - 4 * (-4) * (-3840) = 200704

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 120$$

Como
$$\sqrt{3 x^{2} + 4 x + 1} = 31 - 2 x$$
y
$$\sqrt{3 x^{2} + 4 x + 1} \geq 0$$
entonces
$$31 - 2 x \geq 0$$
o
$$x \leq \frac{31}{2}$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 8$$
comprobamos:
$$x_{1} = 8$$
$$\sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{3 x_{1} + 1} - 8 = 0$$
=
$$\left(-8 + \sqrt{1 + 3 \cdot 8}\right) + \sqrt{1 + 8} = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 8$$