Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x^2+11=0
-
Ecuación x^3-x^2-x-1=0
-
Ecuación 5x+12=8x+30
-
Ecuación 1/x^2-3/x-4=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -7*x-13*y=5
- 15*x+1*y=19
- 7*x-1*y=-7
- 20*x+5*y=-3
-
Expresiones idénticas
- tg(pix)^(tres)=-sqrt(tres)
- tg( número pi x) en el grado (3) es igual a menos raíz cuadrada de (3)
- tg( número pi x) en el grado (tres) es igual a menos raíz cuadrada de (tres)
- tg(pix)^(3)=-√(3)
- tg(pix)(3)=-sqrt(3)
- tgpix3=-sqrt3
- tgpix^3=-sqrt3
-
Expresiones semejantes
- tg(pix)^(3)=+sqrt(3)
-
Expresiones con funciones
- tg
- tg(x^2-1)=1/3
- tg(x)=-3
- tg(x)=2
- tg(x)=-4
- tg=p/5
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2-4)=4-2x
- sqrt(x^2-x-3)=3
- sqrt-x=x+6
- sqrt(7*x-x^2)*(2*cos(x)-1)=0
- sqrt(2*cot(x))-1=0
tg(pix)^(3)=-sqrt(3) la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\tan^{3}{\left(\pi x \right)} = - \sqrt{3}$$
cambiamos
$$\tan^{3}{\left(\pi x \right)} + \sqrt{3} = 0$$
$$\tan^{3}{\left(\pi x \right)} + \sqrt{3} = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(\pi x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{3} + \sqrt{3} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{- \sqrt{3}}$$
o
$$w = \sqrt[3]{-1} \sqrt[6]{3}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: w = (-1)^(1/3)*3^(1/6)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - \sqrt{3}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - \sqrt{3}$$
donde
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(\pi x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(\pi x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\pi x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$\pi x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\pi$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}}{\pi}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt[3]{-1} \sqrt[6]{3} \right)}}{\pi}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt[3]{-1} \sqrt[6]{3} \right)}}{\pi}$$
$$\tan^{3}{\left(\pi x \right)} = - \sqrt{3}$$
cambiamos
$$\tan^{3}{\left(\pi x \right)} + \sqrt{3} = 0$$
$$\tan^{3}{\left(\pi x \right)} + \sqrt{3} = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(\pi x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{3} + \sqrt{3} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{- \sqrt{3}}$$
o
$$w = \sqrt[3]{-1} \sqrt[6]{3}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
w = -1^1/3*3^1/6
Obtenemos la respuesta: w = (-1)^(1/3)*3^(1/6)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - \sqrt{3}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - \sqrt{3}$$
donde
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(\pi x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(\pi x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\pi x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$\pi x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\pi$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}}{\pi}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt[3]{-1} \sqrt[6]{3} \right)}}{\pi}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt[3]{-1} \sqrt[6]{3} \right)}}{\pi}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\
| |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||
/6 ___\ re|atan|----- - ------|| I*im|atan|----- - ------|| re|atan|----- + ------|| I*im|atan|----- + ------||
atan\\/ 3 / \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
- ----------- + ------------------------ + -------------------------- + ------------------------ + --------------------------
pi pi pi pi pi
$$\left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt[6]{3} \right)}}{\pi} + \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}\right)\right) + \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}\right)$$
=
/ /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\
| |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||
re|atan|----- + ------|| re|atan|----- - ------|| /6 ___\ I*im|atan|----- + ------|| I*im|atan|----- - ------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 // atan\\/ 3 / \ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
------------------------ + ------------------------ - ----------- + -------------------------- + --------------------------
pi pi pi pi pi
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt[6]{3} \right)}}{\pi} + \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}$$
producto
/ / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\\ / / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\\
| | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||| | | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 |||
/6 ___\ |re|atan|----- - ------|| I*im|atan|----- - ------||| |re|atan|----- + ------|| I*im|atan|----- + ------|||
-atan\\/ 3 / | \ \ 2 2 // \ \ 2 2 //| | \ \ 2 2 // \ \ 2 2 //|
-------------*|------------------------ + --------------------------|*|------------------------ + --------------------------|
pi \ pi pi / \ pi pi /
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt[6]{3} \right)}}{\pi} \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}\right) \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}\right)$$
=
/ / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\\ / / /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\\
| | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||| | | |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||| /6 ___\
-|I*im|atan|----- + ------|| + re|atan|----- + ------|||*|I*im|atan|----- - ------|| + re|atan|----- - ------|||*atan\\/ 3 /
\ \ \ 2 2 // \ \ 2 2 /// \ \ \ 2 2 // \ \ 2 2 ///
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
pi
$$- \frac{\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}\right) \operatorname{atan}{\left(\sqrt[6]{3} \right)}}{\pi^{3}}$$
-(i*im(atan(3^(1/6)/2 + i*3^(2/3)/2)) + re(atan(3^(1/6)/2 + i*3^(2/3)/2)))*(i*im(atan(3^(1/6)/2 - i*3^(2/3)/2)) + re(atan(3^(1/6)/2 - i*3^(2/3)/2)))*atan(3^(1/6))/pi^3
Respuesta rápida
[src]
/6 ___\
-atan\\/ 3 /
x1 = -------------
pi
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt[6]{3} \right)}}{\pi}$$
/ /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\
| |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||
re|atan|----- - ------|| I*im|atan|----- - ------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
x2 = ------------------------ + --------------------------
pi pi
$$x_{2} = \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}$$
/ /6 ___ 2/3\\ / /6 ___ 2/3\\
| |\/ 3 I*3 || | |\/ 3 I*3 ||
re|atan|----- + ------|| I*im|atan|----- + ------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
x3 = ------------------------ + --------------------------
pi pi
$$x_{3} = \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2} \right)}\right)}}{\pi}$$
x3 = re(atan(3^(1/6)/2 + 3^(2/3)*i/2))/pi + i*im(atan(3^(1/6)/2 + 3^(2/3)*i/2))/pi
Respuesta numérica
[src]
x1 = 144.72101988756
x2 = 136.72101988756
x3 = 12.7210198875602
x4 = -47.2789801124398
x5 = 64.7210198875602
x6 = 22.7210198875602
x7 = -49.2789801124398
x8 = 94.7210198875602
x9 = 122.72101988756
x10 = 118.72101988756
x11 = 10.7210198875602
x12 = 42.7210198875602
x13 = -15.2789801124398
x14 = 48.7210198875602
x15 = 8.72101988756024
x16 = 50.7210198875602
x17 = -11.2789801124398
x18 = -33.2789801124398
x19 = -5.27898011243976
x20 = 46.7210198875602
x21 = 138.72101988756
x22 = 110.72101988756
x23 = 80.7210198875602
x24 = -29.2789801124398
x25 = -17.2789801124398
x26 = 126.72101988756
x27 = 0.721019887560236
x28 = 16.7210198875602
x29 = 32.7210198875602
x30 = 30.7210198875602
x31 = 26.7210198875602
x32 = 88.7210198875602
x33 = 86.7210198875602
x34 = 20.7210198875602
x35 = 4.72101988756024
x36 = 68.7210198875602
x37 = -23.2789801124398
x38 = 40.7210198875602
x39 = 44.7210198875602
x40 = -21.2789801124398
x41 = 70.7210198875602
x42 = -19.2789801124398
x43 = 96.7210198875602
x44 = 84.7210198875602
x45 = -51.2789801124398
x46 = 92.7210198875602
x47 = -53.2789801124398
x48 = -37.2789801124398
x49 = 108.72101988756
x50 = -45.2789801124398
x51 = 24.7210198875602
x52 = 62.7210198875602
x53 = -31.2789801124398
x54 = 72.7210198875602
x55 = 132.72101988756
x56 = 36.7210198875602
x57 = -35.2789801124398
x58 = -25.2789801124398
x59 = -41.2789801124398
x60 = 58.7210198875602
x61 = 34.7210198875602
x62 = 90.7210198875602
x63 = 134.72101988756
x64 = 66.7210198875602
x65 = 98.7210198875602
x66 = -27.2789801124398
x67 = 38.7210198875602
x68 = 112.72101988756
x69 = 60.7210198875602
x70 = 6.72101988756024
x71 = 56.7210198875602
x72 = -7.27898011243976
x73 = 142.72101988756
x74 = -1.27898011243976
x75 = -3.27898011243976
x76 = 54.7210198875602
x77 = -39.2789801124398
x78 = 100.72101988756
x79 = 130.72101988756
x80 = 2.72101988756024
x81 = 28.7210198875602
x82 = 18.7210198875602
x83 = 14.7210198875602
x84 = 82.7210198875602
x85 = 52.7210198875602
x86 = 102.72101988756
x87 = 116.72101988756
x88 = 74.7210198875602
x89 = -13.2789801124398
x90 = -43.2789801124398
x91 = -55.2789801124398
x92 = 140.72101988756
x93 = 106.72101988756
x94 = 76.7210198875602
x95 = 78.7210198875602
x96 = -9.27898011243976
x97 = 124.72101988756
x98 = 114.72101988756
x99 = 104.72101988756
x100 = 128.72101988756
x101 = 120.72101988756
x101 = 120.72101988756