sqrt(x+2)+sqrt(x+7)=sqrt(3x+10) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 7} = \sqrt{3 x + 10}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 7}\right)^{2} = 3 x + 10$$
o
$$1^{2} \left(x + 7\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 2\right) \left(x + 7\right)} + 1^{2} \left(x + 2\right)\right) = 3 x + 10$$
o
$$2 x + 2 \sqrt{x^{2} + 9 x + 14} + 9 = 3 x + 10$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{x^{2} + 9 x + 14} = x + 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} + 36 x + 56 = \left(x + 1\right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 36 x + 56 = x^{2} + 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$3 x^{2} + 34 x + 55 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = 34$$
$$c = 55$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(34)^2 - 4 * (3) * (55) = 496

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{17}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{17}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

Como
$$\sqrt{x^{2} + 9 x + 14} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} + 9 x + 14} \geq 0$$
entonces
$$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \geq 0$$
o
$$-1 \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones