Sr Examen

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2*cos(1)+cos(x)+sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ 2*cos(1)+cos(x)+sin(x)

Gráfico de la función y = 2*cos(1)+cos(x)+sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(1) + cos(x) + sin(x)
f(x)=(cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} 
f = cos(x) + 2*cos(1) + sin(x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x)=0\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(−2−1−tan⁡4(12)+6tan⁡2(12)+tan⁡2(12)+11−3tan⁡2(12))x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{-1 - \tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 6 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}} + \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1}{1 - 3 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}
x2=−2atan⁡(tan⁡2(12)+1+2−1−tan⁡4(12)+6tan⁡2(12)1−3tan⁡2(12))x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{-1 - \tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 6 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}}{1 - 3 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}
Solución numérica
x1=29.7608789184413x_{1} = 29.7608789184413
x2=−1.65504761745666x_{2} = -1.65504761745666
x3=−91.0219356634422x_{3} = -91.0219356634422
x4=−7.93823292463625x_{4} = -7.93823292463625
x5=80.026361375878x_{5} = 80.026361375878
x6=−14.2214182318158x_{6} = -14.2214182318158
x7=455.615186061182x_{7} = 455.615186061182
x8=−78.4555650490831x_{8} = -78.4555650490831
x9=92.5927319902371x_{9} = 92.5927319902371
x10=17.1945083040821x_{10} = 17.1945083040821
x11=59.7745117088678x_{11} = 59.7745117088678
x12=−9.34052667010761x_{12} = -9.34052667010761
x13=67.4599907615188x_{13} = 67.4599907615188
x14=23.4776936112617x_{14} = 23.4776936112617
x15=97.4736235519454x_{15} = 97.4736235519454
x16=73.7431760686984x_{16} = 73.7431760686984
x17=−59.6060091275443x_{17} = -59.6060091275443
x18=−139.885124375408x_{18} = -139.885124375408
x19=−28.1900825916464x_{19} = -28.1900825916464
x20=−39.3541594605342x_{20} = -39.3541594605342
x21=86.3095466830575x_{21} = 86.3095466830575
x22=53.4913264016882x_{22} = 53.4913264016882
x23=3.22584394425156x_{23} = 3.22584394425156
x24=−77.0532713036117x_{24} = -77.0532713036117
x25=66.0576970160474x_{25} = 66.0576970160474
x26=−315.814312976436x_{26} = -315.814312976436
x27=−89.6196419179709x_{27} = -89.6196419179709
x28=−65.8891944347239x_{28} = -65.8891944347239
x29=15.7922145586107x_{29} = 15.7922145586107
x30=−70.7700859964321x_{30} = -70.7700859964321
x31=22.0753998657903x_{31} = 22.0753998657903
x32=−45.6373447677138x_{32} = -45.6373447677138
x33=28.3585851729699x_{33} = 28.3585851729699
x34=−21.9068972844668x_{34} = -21.9068972844668
x35=72.340882323227x_{35} = 72.340882323227
x36=−15.6237119772872x_{36} = -15.6237119772872
x37=−64.4869006892525x_{37} = -64.4869006892525
x38=−3.05734136292803x_{38} = -3.05734136292803
x39=34.6417704801495x_{39} = 34.6417704801495
x40=−20.5046035389954x_{40} = -20.5046035389954
x41=48.61043483998x_{41} = 48.61043483998
x42=78.6240676304066x_{42} = 78.6240676304066
x43=36.0440642256209x_{43} = 36.0440642256209
x44=42.3272495328004x_{44} = 42.3272495328004
x45=−83.3364566107913x_{45} = -83.3364566107913
x46=−51.9205300748933x_{46} = -51.9205300748933
x47=−33.0709741533546x_{47} = -33.0709741533546
x48=−95.9028272251505x_{48} = -95.9028272251505
x49=−26.787788846175x_{49} = -26.787788846175
x50=−40.7564532060055x_{50} = -40.7564532060055
x51=9.50902925143114x_{51} = 9.50902925143114
x52=−84.7387503562627x_{52} = -84.7387503562627
x53=4.62813768972293x_{53} = 4.62813768972293
x54=61.1768054543392x_{54} = 61.1768054543392
x55=−34.473267898826x_{55} = -34.473267898826
x56=47.2081410945087x_{56} = 47.2081410945087
x57=−53.3228238203647x_{57} = -53.3228238203647
x58=−72.1723797419035x_{58} = -72.1723797419035
x59=91.1904382447658x_{59} = 91.1904382447658
x60=−47.0396385131851x_{60} = -47.0396385131851
x61=84.9072529375862x_{61} = 84.9072529375862
x62=40.9249557873291x_{62} = 40.9249557873291
x63=98.8759172974167x_{63} = 98.8759172974167
x64=54.8936201471596x_{64} = 54.8936201471596
x65=10.9113229969025x_{65} = 10.9113229969025
x66=−58.2037153820729x_{66} = -58.2037153820729
x67=−97.3051209706218x_{67} = -97.3051209706218
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(1) + cos(x) + sin(x).
sin⁡(0)+(cos⁡(0)+2cos⁡(1))\sin{\left(0 \right)} + \left(\cos{\left(0 \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=1+2cos⁡(1)f{\left(0 \right)} = 1 + 2 \cos{\left(1 \right)}
Punto:
(0, 1 + 2*cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___            
(--, \/ 2  + 2*cos(1))
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+2cos⁡(1)\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + 2 \cos{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩+2cos⁡(1)y = \left\langle -2, 2\right\rangle + 2 \cos{\left(1 \right)}
lim⁡x→∞((cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+2cos⁡(1)\lim_{x \to \infty}\left(\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + 2 \cos{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩+2cos⁡(1)y = \left\langle -2, 2\right\rangle + 2 \cos{\left(1 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(1) + cos(x) + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)+2cos⁡(1)\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}
- No
(cos⁡(x)+2cos⁡(1))+sin⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)−2cos⁡(1)\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*cos(1)+cos(x)+sin(x)
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