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Trazado el gráfico de la función/ sign(sin(/x))

Gráfico de la función y = sign(sin(/x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sign(sin(x))
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$ 
f = sign(sin(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sign(sin(x)).
$$\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}$$
Punto:
(0, sign(sin(0)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \cos{\left(x \right)} \delta\left(\sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin{\left(x \right)} \delta\left(\sin{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} \delta^{\left( 1 \right)}\left( \sin{\left(x \right)} \right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sign(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
- No
$$\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
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