Sr Examen

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sqrt(cos(x))/2
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(cos(x))/2

Gráfico de la función y = sqrt(cos(x))/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ________
       \/ cos(x) 
f(x) = ----------
           2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2}$$ 
f = sqrt(cos(x))/2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(cos(x))/2.
$$\frac{\sqrt{\cos{\left(0 \right)}}}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}$$
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
    1 
(0, -)
    2 

     I 
(pi, -)
     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} + 2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2} = \frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2}$$
- Sí
$$\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2} = - \frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(cos(x))/2
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