Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{2 \left(\frac{\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{2 x^{2} + 2 x + 1} - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{2 \left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right) \left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + 1 - \frac{x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}}{x + 1}\right)^{2}}{\left(1 + \frac{\left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{2 x^{2} + 2 x + 1} - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{2 \left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right) \left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + 1 - \frac{x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}}{x + 1}\right)^{2}}{\left(1 + \frac{\left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) = \frac{1 \left(-64 + 45.2548339959391 \sqrt{2}\right)}{-32 + 22.6274169979695 \sqrt{2}}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{2 x^{2} + 2 x + 1} - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{2 \left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right) \left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}} + 1 - \frac{x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}}{x + 1}\right)^{2}}{\left(1 + \frac{\left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) = \frac{1 \left(-64 + 45.2548339959391 \sqrt{2}\right)}{-32 + 22.6274169979695 \sqrt{2}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$