Sr Examen

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(exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))
Trazado el gráfico de la función/ (exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))

Gráfico de la función y = (exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    -x
       e  - e  
f(x) = --------
        x    -x
       e  + e
f(x)=ex−e−xex+e−xf{\left(x \right)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} 
f = (exp(x) - exp(-x))/(exp(x) + exp(-x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex−e−xex+e−x=0\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (exp(x) - exp(-x))/(exp(x) + exp(-x)).
−e−0+e0e0+e−0\frac{- e^{- 0} + e^{0}}{e^{0} + e^{- 0}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−ex+e−x)(ex−e−x)(ex+e−x)2+1=0\frac{\left(- e^{x} + e^{- x}\right) \left(e^{x} - e^{- x}\right)}{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2(ex−e−x)2(ex+e−x)2−2)(ex−e−x)ex+e−x=0\frac{\left(\frac{2 \left(e^{x} - e^{- x}\right)^{2}}{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}} - 2\right) \left(e^{x} - e^{- x}\right)}{e^{x} + e^{- x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−e−xex+e−x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(ex−e−xex+e−x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (exp(x) - exp(-x))/(exp(x) + exp(-x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex−e−xx(ex+e−x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x \left(e^{x} + e^{- x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex−e−xx(ex+e−x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x \left(e^{x} + e^{- x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex−e−xex+e−x=−ex+e−xex+e−x\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = \frac{- e^{x} + e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}
- No
ex−e−xex+e−x=−−ex+e−xex+e−x\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = - \frac{- e^{x} + e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))
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