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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x-2))^2-cbrt((x-3))^2

Gráfico de la función y = cbrt((x-2))^2-cbrt((x-3))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2            2
       3 _______    3 _______ 
f(x) = \/ x - 2   - \/ x - 3
f(x)=−(x−33)2+(x−23)2f{\left(x \right)} = - \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} 
f = -((x - 3)^(1/3))^2 + ((x - 2)^(1/3))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−(x−33)2+(x−23)2=0- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 2)^(1/3))^2 - ((x - 3)^(1/3))^2.
−(−33)2+(−23)2- \left(\sqrt[3]{-3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{-2}\right)^{2}
Resultado:
f(0)=−(−3)23+(−2)23f{\left(0 \right)} = - \left(-3\right)^{\frac{2}{3}} + \left(-2\right)^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, (-2)^(2/3) - (-3)^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(x−2)233(x−2)−23x−33=0\frac{2 \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}}}{3 \left(x - 2\right)} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1(x−2)43+1(x−3)43)9=0\frac{2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−33)2+(x−23)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−(x−33)2+(x−23)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)^(1/3))^2 - ((x - 3)^(1/3))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−33)2+(x−23)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−(x−33)2+(x−23)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−(x−33)2+(x−23)2=−(−x−3)23+(−x−2)23- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} = - \left(- x - 3\right)^{\frac{2}{3}} + \left(- x - 2\right)^{\frac{2}{3}}
- No
−(x−33)2+(x−23)2=(−x−3)23−(−x−2)23- \left(\sqrt[3]{x - 3}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} = \left(- x - 3\right)^{\frac{2}{3}} - \left(- x - 2\right)^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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