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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x)/(x^3-3x^2+8)

Gráfico de la función y = cbrt(x)/(x^3-3x^2+8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3 ___    
           \/ x     
f(x) = -------------
        3      2    
       x  - 3*x  + 8
f(x)=x3(x3−3x2)+8f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8} 
f = x^(1/3)/(x^3 - 3*x^2 + 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.00.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.35530139760812x_{1} = -1.35530139760812
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(x3−3x2)+8=0\frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=51024.811304595x_{1} = 51024.811304595
x2=−73651.1550667282x_{2} = -73651.1550667282
x3=49404.839592989x_{3} = 49404.839592989
x4=59124.3020049138x_{4} = 59124.3020049138
x5=−70411.6176373517x_{5} = -70411.6176373517
x6=34823.2733347502x_{6} = 34823.2733347502
x7=38063.994886627x_{7} = 38063.994886627
x8=62363.9609163925x_{8} = 62363.9609163925
x9=52644.755611386x_{9} = 52644.755611386
x10=−33149.0810300349x_{10} = -33149.0810300349
x11=−60692.6569241202x_{11} = -60692.6569241202
x12=29961.5525489611x_{12} = 29961.5525489611
x13=76941.7716817098x_{13} = 76941.7716817098
x14=−36390.4955045503x_{14} = -36390.4955045503
x15=−54212.9513914042x_{15} = -54212.9513914042
x16=−47732.7692696371x_{16} = -47732.7692696371
x17=44544.7317435708x_{17} = 44544.7317435708
x18=68843.1020893227x_{18} = 68843.1020893227
x19=70462.8563039678x_{19} = 70462.8563039678
x20=39684.2572471643x_{20} = 39684.2572471643
x21=67223.336310462x_{21} = 67223.336310462
x22=31582.2273393681x_{22} = 31582.2273393681
x23=60744.1397643233x_{23} = 60744.1397643233
x24=65603.5581414163x_{24} = 65603.5581414163
x25=47784.8378297151x_{25} = 47784.8378297151
x26=−80130.0990484481x_{26} = -80130.0990484481
x27=−62312.5268249152x_{27} = -62312.5268249152
x28=36443.6696326791x_{28} = 36443.6696326791
x29=80181.1768409596x_{29} = 80181.1768409596
x30=78561.4782009277x_{30} = 78561.4782009277
x31=−76890.6469833113x_{31} = -76890.6469833113
x32=−49352.870165054x_{32} = -49352.870165054
x33=75322.0567906816x_{33} = 75322.0567906816
x34=55884.5711322074x_{34} = 55884.5711322074
x35=33202.796377657x_{35} = 33202.796377657
x36=41304.4636678736x_{36} = 41304.4636678736
x37=72082.5997086069x_{37} = 72082.5997086069
x38=63983.7666757238x_{38} = 63983.7666757238
x39=46164.8030165156x_{39} = 46164.8030165156
x40=73702.3329933107x_{40} = 73702.3329933107
x41=54264.6748587366x_{41} = 54264.6748587366
x42=−57452.8533004321x_{42} = -57452.8533004321
x43=57504.4462924981x_{43} = 57504.4462924981
x44=−46112.6246991196x_{44} = -46112.6246991196
x45=−39631.4971479964x_{45} = -39631.4971479964
x46=−75270.9063368297x_{46} = -75270.9063368297
x47=−31528.1767436834x_{47} = -31528.1767436834
x48=42924.6201165873x_{48} = 42924.6201165873
x49=0x_{49} = 0
x50=−72031.3924358716x_{50} = -72031.3924358716
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/3)/(x^3 - 3*x^2 + 8).
03(03−3⋅02)+8\frac{\sqrt[3]{0}}{\left(0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 8}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3(−3x2+6x)((x3−3x2)+8)2+13x23((x3−3x2)+8)=0\frac{\sqrt[3]{x} \left(- 3 x^{2} + 6 x\right)}{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8\right)^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=256450632+3815123+58+50632+3815123x_{1} = \frac{25}{64 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}} + \frac{5}{8} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                          ____________________________________________________                           
                                                                                         /          _______________                                                      
                                                                                        /          /         _____                                                       
                                                                                       /   5      /  381   \/ 506                25                                      
                                                                                      /    - + 3 /   --- + -------  + -----------------------                            
                                                                                     /     8   \/    512      32              _______________                            
                                                                                    /                                        /         _____                             
          _______________                                                          /                                        /  381   \/ 506                              
         /         _____                                                        3 /                                   64*3 /   --- + -------                             
 5      /  381   \/ 506                25                                       \/                                       \/    512      32                               
(- + 3 /   --- + -------  + -----------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 8   \/    512      32              _______________                                                          3                                                         2 
                                   /         _____       /         _______________                          \      /         _______________                          \  
                                  /  381   \/ 506        |        /         _____                           |      |        /         _____                           |  
                            64*3 /   --- + -------       |5      /  381   \/ 506                25          |      |5      /  381   \/ 506                25          |  
                               \/    512      32     8 + |- + 3 /   --- + -------  + -----------------------|  - 3*|- + 3 /   --- + -------  + -----------------------|  
                                                         |8   \/    512      32              _______________|      |8   \/    512      32              _______________|  
                                                         |                                  /         _____ |      |                                  /         _____ |  
                                                         |                                 /  381   \/ 506  |      |                                 /  381   \/ 506  |  
                                                         |                           64*3 /   --- + ------- |      |                           64*3 /   --- + ------- |  
                                                         \                              \/    512      32   /      \                              \/    512      32   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=256450632+3815123+58+50632+3815123x_{1} = \frac{25}{64 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}} + \frac{5}{8} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}
Decrece en los intervalos
(−∞,256450632+3815123+58+50632+3815123]\left(-\infty, \frac{25}{64 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}} + \frac{5}{8} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}\right]
Crece en los intervalos
[256450632+3815123+58+50632+3815123,∞)\left[\frac{25}{64 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}} + \frac{5}{8} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{506}}{32} + \frac{381}{512}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.35530139760812x_{1} = -1.35530139760812
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(x3−3x2)+8)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x3(x3−3x2)+8)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/3)/(x^3 - 3*x^2 + 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x23((x3−3x2)+8))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x23((x3−3x2)+8))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(x3−3x2)+8=−x3−x3−3x2+8\frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8} = \frac{\sqrt[3]{- x}}{- x^{3} - 3 x^{2} + 8}
- No
x3(x3−3x2)+8=−−x3−x3−3x2+8\frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 8} = - \frac{\sqrt[3]{- x}}{- x^{3} - 3 x^{2} + 8}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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