Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x^3-4x)

Gráfico de la función y = cbrt(x^3-4x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________
       3 /  3       
f(x) = \/  x  - 4*x
f(x)=x3−4x3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{3} - 4 x} 
f = (x^3 - 4*x)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3−4x3=0\sqrt[3]{x^{3} - 4 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−23i33−233i3x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \sqrt[3]{i}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt[3]{i}}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
x3=−2x_{3} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 - 4*x)^(1/3).
03−03\sqrt[3]{0^{3} - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2−43(x3−4x)23=0\frac{x^{2} - \frac{4}{3}}{\left(x^{3} - 4 x\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−233x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
      ___      ___   3 ___   3 ____ 
 -2*\/ 3   2*\/ 3 *3*\/ 3 *3*\/ 18  
(--------, ------------------------)
    3                 81            

     ___      ___   3 _____   3 ___ 
 2*\/ 3   2*\/ 3 *3*\/ -18 *3*\/ 3  
(-------, -------------------------)
    3                 81


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−233x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−233]\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]
Crece en los intervalos
[−233,∞)\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−(3x2−4)29x(x2−4))(x(x2−4))23=0\frac{2 \left(x - \frac{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}}{9 x \left(x^{2} - 4\right)}\right)}{\left(x \left(x^{2} - 4\right)\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x3−4x3=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^{3} - 4 x} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞x3−4x3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{3} - 4 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 4*x)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3−4x3x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{3} - 4 x}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x3−4x3x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{3} - 4 x}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3−4x3=−x3+4x3\sqrt[3]{x^{3} - 4 x} = \sqrt[3]{- x^{3} + 4 x}
- No
x3−4x3=−−x3+4x3\sqrt[3]{x^{3} - 4 x} = - \sqrt[3]{- x^{3} + 4 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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