Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x+2)*(x^2+4*x+1))

Gráfico de la función y = cbrt((x+2)*(x^2+4*x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________________________
       3 /         / 2          \ 
f(x) = \/  (x + 2)*\x  + 4*x + 1/
f(x)=(x+2)((x2+4x)+1)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} 
f = ((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-2201012141618025
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+2)((x2+4x)+1)3=0\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2−i3−1i3x_{1} = -2 - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1))^(1/3).
2((02+0⋅4)+1)3\sqrt[3]{2 \left(\left(0^{2} + 0 \cdot 4\right) + 1\right)}
Resultado:
f(0)=23f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{2}
Punto:
(0, 2^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+2)((x2+4x)+1)3(x23+4x3+(x+2)(2x+4)3+13)(x+2)((x2+4x)+1)=0\frac{\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} \left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x + 4\right)}{3} + \frac{1}{3}\right)}{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)(x2+4x+1)3(2−2(x2+4x+2(x+2)2+1)3(x2+4x+1)−x2+4x+2(x+2)2+13(x+2)2+(x2+4x+2(x+2)2+1)29(x+2)2(x2+4x+1))x2+4x+1=0\frac{\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)} \left(2 - \frac{2 \left(x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1\right)}{3 \left(x^{2} + 4 x + 1\right)} - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{3 \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1\right)^{2}}{9 \left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}\right)}{x^{2} + 4 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13595.3551706853x_{1} = 13595.3551706853
x2=20386.1309322134x_{2} = 20386.1309322134
x3=23779.3948913621x_{3} = 23779.3948913621
x4=35651.5566624874x_{4} = 35651.5566624874
x5=−38067.860879902x_{5} = -38067.860879902
x6=39890.7925658288x_{6} = 39890.7925658288
x7=−11768.2859596051x_{7} = -11768.2859596051
x8=12745.7668706712x_{8} = 12745.7668706712
x9=30564.029185242x_{9} = 30564.029185242
x10=34803.673999245x_{10} = 34803.673999245
x11=−32980.5841400403x_{11} = -32980.5841400403
x12=22931.1577402611x_{12} = 22931.1577402611
x13=25475.742961609x_{13} = 25475.742961609
x14=43282.0100699056x_{14} = 43282.0100699056
x15=−16864.3146630141x_{15} = -16864.3146630141
x16=−32132.6538879474x_{16} = -32132.6538879474
x17=41586.4176289509x_{17} = 41586.4176289509
x18=27171.9489509878x_{18} = 27171.9489509878
x19=11895.8969218254x_{19} = 11895.8969218254
x20=−33828.4980617993x_{20} = -33828.4980617993
x21=40738.6094295868x_{21} = 40738.6094295868
x22=33955.7774429341x_{22} = 33955.7774429341
x23=28868.0378701749x_{23} = 28868.0378701749
x24=−31284.7059789048x_{24} = -31284.7059789048
x25=18689.1122074729x_{25} = 18689.1122074729
x26=29716.0446849717x_{26} = 29716.0446849717
x27=15293.8736344058x_{27} = 15293.8736344058
x28=−17713.0729738729x_{28} = -17713.0729738729
x29=−29588.751123943x_{29} = -29588.751123943
x30=−23652.0673021873x_{30} = -23652.0673021873
x31=28020.0067174112x_{31} = 28020.0067174112
x32=21234.5320460819x_{32} = 21234.5320460819
x33=32259.9382733895x_{33} = 32259.9382733895
x34=16142.8727452143x_{34} = 16142.8727452143
x35=−35524.281588014x_{35} = -35524.281588014
x36=33107.8659271269x_{36} = 33107.8659271269
x37=−41459.1537020138x_{37} = -41459.1537020138
x38=22082.8720596826x_{38} = 22082.8720596826
x39=39042.966473615x_{39} = 39042.966473615
x40=17840.4740633886x_{40} = 17840.4740633886
x41=38195.1305388373x_{41} = 38195.1305388373
x42=−15166.4118955911x_{42} = -15166.4118955911
x43=31411.993176181x_{43} = 31411.993176181
x44=−36372.1532571523x_{44} = -36372.1532571523
x45=−14317.2218374907x_{45} = -14317.2218374907
x46=16991.732969216x_{46} = 16991.732969216
x47=36499.4264000808x_{47} = 36499.4264000808
x48=−39763.5259557003x_{48} = -39763.5259557003
x49=−25348.4275547676x_{49} = -25348.4275547676
x50=−27044.6435149774x_{50} = -27044.6435149774
x51=37347.2840916655x_{51} = 37347.2840916655
x52=−18561.7260417445x_{52} = -18561.7260417445
x53=24627.5885184677x_{53} = 24627.5885184677
x54=14444.7112563031x_{54} = 14444.7112563031
x55=26323.8620023876x_{55} = 26323.8620023876
x56=−16015.4344345569x_{56} = -16015.4344345569
x57=42434.2176829333x_{57} = 42434.2176829333
x58=19537.6607784566x_{58} = 19537.6607784566

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32259.9382733895,∞)\left[32259.9382733895, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−39763.5259557003]\left(-\infty, -39763.5259557003\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2)((x2+4x)+1)3=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x+2)((x2+4x)+1)3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)((x2+4x)+1)3x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞((x+2)((x2+4x)+1)3x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+2)((x2+4x)+1)3=(2−x)(x2−4x+1)3\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}
- No
(x+2)((x2+4x)+1)3=−(2−x)(x2−4x+1)3\sqrt[3]{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = - \sqrt[3]{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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