Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x^2)+(x+5)

Gráfico de la función y = cbrt(x^2)+(x+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____        
       3 /  2         
f(x) = \/  x   + x + 5
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}}$$ 
f = x + 5 + (x^2)^(1/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{16}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{2085}}{2} + \frac{767}{2}}}{3} - \frac{31}{3 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{2085}}{2} + \frac{767}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9.47890895763161$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2)^(1/3) + x + 5.
$$\sqrt[3]{0^{2}} + 5$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 5$$
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$1 + \frac{2 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{8}{27}$$
Signos de extremos en los puntos:
        139 
(-8/27, ---)
         27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{8}{27}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{8}{27}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{8}{27}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}} - \frac{3 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right)}{9 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2)^(1/3) + x + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}} = - x + \sqrt[3]{x^{2}} + 5$$
- No
$$\left(x + 5\right) + \sqrt[3]{x^{2}} = x - \sqrt[3]{x^{2}} - 5$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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