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4^cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 4^cos(x)

Gráfico de la función y = 4^cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        cos(x)
f(x) = 4
f(x)=4cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 4^{\cos{\left(x \right)}} 
f = 4^cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4cos⁡(x)=04^{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4^cos(x).
4cos⁡(0)4^{\cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4cos⁡(x)log⁡(4)sin⁡(x)=0- 4^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)

(pi, 1/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4cos⁡(x)(log⁡(4)sin⁡2(x)−cos⁡(x))log⁡(4)=04^{\cos{\left(x \right)}} \left(\log{\left(4 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(4 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(−log⁡(16)+1+16log⁡(2)2)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \log{\left(16 \right)} + \sqrt{1 + 16 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}
x2=2atan⁡(−log⁡(16)+1+16log⁡(2)2)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \log{\left(16 \right)} + \sqrt{1 + 16 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(−log⁡(16)+1+16log⁡(2)2)]∪[2atan⁡(−log⁡(16)+1+16log⁡(2)2),∞)\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \log{\left(16 \right)} + \sqrt{1 + 16 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \log{\left(16 \right)} + \sqrt{1 + 16 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2atan⁡(−log⁡(16)+1+16log⁡(2)2),2atan⁡(−log⁡(16)+1+16log⁡(2)2)]\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \log{\left(16 \right)} + \sqrt{1 + 16 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \log{\left(16 \right)} + \sqrt{1 + 16 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞4cos⁡(x)=4⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} 4^{\cos{\left(x \right)}} = 4^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=4⟨−1,1⟩y = 4^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
lim⁡x→∞4cos⁡(x)=4⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} 4^{\cos{\left(x \right)}} = 4^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=4⟨−1,1⟩y = 4^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4^cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4cos⁡(x)=4cos⁡(x)4^{\cos{\left(x \right)}} = 4^{\cos{\left(x \right)}}
- Sí
4cos⁡(x)=−4cos⁡(x)4^{\cos{\left(x \right)}} = - 4^{\cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 4^cos(x)
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