Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- cuatro *cos(tres *x)+ cinco *sin(tres *x)
- 4 multiplicar por coseno de (3 multiplicar por x) más 5 multiplicar por seno de (3 multiplicar por x)
- cuatro multiplicar por coseno de (tres multiplicar por x) más cinco multiplicar por seno de (tres multiplicar por x)
- 4cos(3x)+5sin(3x)
- 4cos3x+5sin3x
-
Expresiones semejantes
- 4*cos(3*x)-5*sin(3*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
- Seno sin
- sin(x)^(3)
- sin(x/5)*exp(x/10)+5*exp(-x/2)
- sin(x)/(2*x+16)
- sin(2*x+3)^(2)
- sin(x^3)
Gráfico de la función y = 4*cos(3*x)+5*sin(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = 4*cos(3*x) + 5*sin(3*x)
$$f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
f = 5*sin(3*x) + 4*cos(3*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.8340757554996$$
$$x_{2} = -75.6231373335629$$
$$x_{3} = -97.6142859086914$$
$$x_{4} = 76.2205075899438$$
$$x_{5} = 58.4181492196016$$
$$x_{6} = 64.7013345267812$$
$$x_{7} = 14.4358520693445$$
$$x_{8} = -46.3016059000581$$
$$x_{9} = -59.9151740656139$$
$$x_{10} = 78.314902692337$$
$$x_{11} = -94.4726932551016$$
$$x_{12} = 69.9373222827642$$
$$x_{13} = -66.1983593727935$$
$$x_{14} = -90.2839030503153$$
$$x_{15} = -20.1216671201432$$
$$x_{16} = -7.55529650578404$$
$$x_{17} = 25.9550251325071$$
$$x_{18} = 45.8517786052425$$
$$x_{19} = -29.5464450809126$$
$$x_{20} = -13.8384818129636$$
$$x_{21} = -27.4520499785194$$
$$x_{22} = -40.0184205928786$$
$$x_{23} = -12.791284261767$$
$$x_{24} = -42.1128156952718$$
$$x_{25} = -9692.03824997192$$
$$x_{26} = -68.2927544751867$$
$$x_{27} = -9.64969160817723$$
$$x_{28} = -57.8207789632207$$
$$x_{29} = -88.1895079479221$$
$$x_{30} = 16.5302471717377$$
$$x_{31} = -0.224913647407851$$
$$x_{32} = -22.2160622225364$$
$$x_{33} = -95.5198908062982$$
$$x_{34} = 34.3326055420799$$
$$x_{35} = 36.4270006444731$$
$$x_{36} = 52.134963912422$$
$$x_{37} = -73.5287422311697$$
$$x_{38} = -11.7440867105704$$
$$x_{39} = -79.8119275383493$$
$$x_{40} = -35.8296303880922$$
$$x_{41} = -81.9063226407425$$
$$x_{42} = 47.9461737076356$$
$$x_{43} = 100.306051267466$$
$$x_{44} = 30.1438153372935$$
$$x_{45} = 94.0228659602859$$
$$x_{46} = 80.4092977947302$$
$$x_{47} = 3.96387655737854$$
$$x_{48} = 67.842927180371$$
$$x_{49} = -86.0951128455289$$
$$x_{50} = 32.2382104396867$$
$$x_{51} = 6.05827165977174$$
$$x_{52} = 8.15266676216493$$
$$x_{53} = 96.1172610626791$$
$$x_{54} = -92.3782981527085$$
$$x_{55} = 28.0494202349003$$
$$x_{56} = -53.6319887584343$$
$$x_{57} = 65.7485320779778$$
$$x_{58} = -3.36650630099764$$
$$x_{59} = 38.5213957468663$$
$$x_{60} = 91.9284708578927$$
$$x_{61} = 1.86948145498534$$
$$x_{62} = 56.3237541172084$$
$$x_{63} = 43.7573835028493$$
$$x_{64} = 54.2293590148152$$
$$x_{65} = -62.0095691680071$$
$$x_{66} = 41.6629884004561$$
$$x_{67} = 98.2116561650723$$
$$x_{68} = 82.5036928971234$$
$$x_{69} = 72.0317173851574$$
$$x_{70} = -5.46090140339084$$
$$x_{71} = -24.3104573249296$$
$$x_{72} = -84.0007177431357$$
$$x_{73} = 21.7662349277207$$
$$x_{74} = -77.7175324359561$$
$$x_{75} = -51.5375936560411$$
$$x_{76} = 12.3414569669513$$
$$x_{77} = -55.7263838608275$$
$$x_{78} = 23.8606300301139$$
$$x_{79} = 10.2470618645581$$
$$x_{80} = -15.9328769153568$$
$$x_{81} = -74.5759397823663$$
$$x_{82} = 18.6246422741309$$
$$x_{83} = 224.922559859861$$
$$x_{84} = -64.1039642704003$$
$$x_{85} = 74.1261124875506$$
$$x_{86} = -99.7086810110846$$
$$x_{87} = 87.7396806531064$$
$$x_{88} = -49.4431985536479$$
$$x_{89} = -44.207210797665$$
$$x_{90} = -31.6408401833058$$
$$x_{91} = -18.02727201775$$
$$x_{92} = -33.735235285699$$
$$x_{93} = -37.9240254904854$$
$$x_{94} = 50.0405688100288$$
$$x_{95} = 60.5125443219948$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.8340757554996$$
$$x_{2} = -75.6231373335629$$
$$x_{3} = -97.6142859086914$$
$$x_{4} = 76.2205075899438$$
$$x_{5} = 58.4181492196016$$
$$x_{6} = 64.7013345267812$$
$$x_{7} = 14.4358520693445$$
$$x_{8} = -46.3016059000581$$
$$x_{9} = -59.9151740656139$$
$$x_{10} = 78.314902692337$$
$$x_{11} = -94.4726932551016$$
$$x_{12} = 69.9373222827642$$
$$x_{13} = -66.1983593727935$$
$$x_{14} = -90.2839030503153$$
$$x_{15} = -20.1216671201432$$
$$x_{16} = -7.55529650578404$$
$$x_{17} = 25.9550251325071$$
$$x_{18} = 45.8517786052425$$
$$x_{19} = -29.5464450809126$$
$$x_{20} = -13.8384818129636$$
$$x_{21} = -27.4520499785194$$
$$x_{22} = -40.0184205928786$$
$$x_{23} = -12.791284261767$$
$$x_{24} = -42.1128156952718$$
$$x_{25} = -9692.03824997192$$
$$x_{26} = -68.2927544751867$$
$$x_{27} = -9.64969160817723$$
$$x_{28} = -57.8207789632207$$
$$x_{29} = -88.1895079479221$$
$$x_{30} = 16.5302471717377$$
$$x_{31} = -0.224913647407851$$
$$x_{32} = -22.2160622225364$$
$$x_{33} = -95.5198908062982$$
$$x_{34} = 34.3326055420799$$
$$x_{35} = 36.4270006444731$$
$$x_{36} = 52.134963912422$$
$$x_{37} = -73.5287422311697$$
$$x_{38} = -11.7440867105704$$
$$x_{39} = -79.8119275383493$$
$$x_{40} = -35.8296303880922$$
$$x_{41} = -81.9063226407425$$
$$x_{42} = 47.9461737076356$$
$$x_{43} = 100.306051267466$$
$$x_{44} = 30.1438153372935$$
$$x_{45} = 94.0228659602859$$
$$x_{46} = 80.4092977947302$$
$$x_{47} = 3.96387655737854$$
$$x_{48} = 67.842927180371$$
$$x_{49} = -86.0951128455289$$
$$x_{50} = 32.2382104396867$$
$$x_{51} = 6.05827165977174$$
$$x_{52} = 8.15266676216493$$
$$x_{53} = 96.1172610626791$$
$$x_{54} = -92.3782981527085$$
$$x_{55} = 28.0494202349003$$
$$x_{56} = -53.6319887584343$$
$$x_{57} = 65.7485320779778$$
$$x_{58} = -3.36650630099764$$
$$x_{59} = 38.5213957468663$$
$$x_{60} = 91.9284708578927$$
$$x_{61} = 1.86948145498534$$
$$x_{62} = 56.3237541172084$$
$$x_{63} = 43.7573835028493$$
$$x_{64} = 54.2293590148152$$
$$x_{65} = -62.0095691680071$$
$$x_{66} = 41.6629884004561$$
$$x_{67} = 98.2116561650723$$
$$x_{68} = 82.5036928971234$$
$$x_{69} = 72.0317173851574$$
$$x_{70} = -5.46090140339084$$
$$x_{71} = -24.3104573249296$$
$$x_{72} = -84.0007177431357$$
$$x_{73} = 21.7662349277207$$
$$x_{74} = -77.7175324359561$$
$$x_{75} = -51.5375936560411$$
$$x_{76} = 12.3414569669513$$
$$x_{77} = -55.7263838608275$$
$$x_{78} = 23.8606300301139$$
$$x_{79} = 10.2470618645581$$
$$x_{80} = -15.9328769153568$$
$$x_{81} = -74.5759397823663$$
$$x_{82} = 18.6246422741309$$
$$x_{83} = 224.922559859861$$
$$x_{84} = -64.1039642704003$$
$$x_{85} = 74.1261124875506$$
$$x_{86} = -99.7086810110846$$
$$x_{87} = 87.7396806531064$$
$$x_{88} = -49.4431985536479$$
$$x_{89} = -44.207210797665$$
$$x_{90} = -31.6408401833058$$
$$x_{91} = -18.02727201775$$
$$x_{92} = -33.735235285699$$
$$x_{93} = -37.9240254904854$$
$$x_{94} = 50.0405688100288$$
$$x_{95} = 60.5125443219948$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 12 \sin{\left(3 x \right)} + 15 \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 12 \sin{\left(3 x \right)} + 15 \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
atan(5/4) ____
(---------, \/ 41 )
3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 9 \left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 9 \left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -9, 9\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*cos(3*x) + 5*sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = - 5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
$$5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = 5 \sin{\left(3 x \right)} - 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = - 5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
$$5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = 5 \sin{\left(3 x \right)} - 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar