Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 4*cos(3*x)+5*sin(3*x)

Gráfico de la función y = 4*cos(3*x)+5*sin(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 4*cos(3*x) + 5*sin(3*x)
f(x)=5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} 
f = 5*sin(3*x) + 4*cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)=05 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(45)3x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}
Solución numérica
x1=89.8340757554996x_{1} = 89.8340757554996
x2=−75.6231373335629x_{2} = -75.6231373335629
x3=−97.6142859086914x_{3} = -97.6142859086914
x4=76.2205075899438x_{4} = 76.2205075899438
x5=58.4181492196016x_{5} = 58.4181492196016
x6=64.7013345267812x_{6} = 64.7013345267812
x7=14.4358520693445x_{7} = 14.4358520693445
x8=−46.3016059000581x_{8} = -46.3016059000581
x9=−59.9151740656139x_{9} = -59.9151740656139
x10=78.314902692337x_{10} = 78.314902692337
x11=−94.4726932551016x_{11} = -94.4726932551016
x12=69.9373222827642x_{12} = 69.9373222827642
x13=−66.1983593727935x_{13} = -66.1983593727935
x14=−90.2839030503153x_{14} = -90.2839030503153
x15=−20.1216671201432x_{15} = -20.1216671201432
x16=−7.55529650578404x_{16} = -7.55529650578404
x17=25.9550251325071x_{17} = 25.9550251325071
x18=45.8517786052425x_{18} = 45.8517786052425
x19=−29.5464450809126x_{19} = -29.5464450809126
x20=−13.8384818129636x_{20} = -13.8384818129636
x21=−27.4520499785194x_{21} = -27.4520499785194
x22=−40.0184205928786x_{22} = -40.0184205928786
x23=−12.791284261767x_{23} = -12.791284261767
x24=−42.1128156952718x_{24} = -42.1128156952718
x25=−9692.03824997192x_{25} = -9692.03824997192
x26=−68.2927544751867x_{26} = -68.2927544751867
x27=−9.64969160817723x_{27} = -9.64969160817723
x28=−57.8207789632207x_{28} = -57.8207789632207
x29=−88.1895079479221x_{29} = -88.1895079479221
x30=16.5302471717377x_{30} = 16.5302471717377
x31=−0.224913647407851x_{31} = -0.224913647407851
x32=−22.2160622225364x_{32} = -22.2160622225364
x33=−95.5198908062982x_{33} = -95.5198908062982
x34=34.3326055420799x_{34} = 34.3326055420799
x35=36.4270006444731x_{35} = 36.4270006444731
x36=52.134963912422x_{36} = 52.134963912422
x37=−73.5287422311697x_{37} = -73.5287422311697
x38=−11.7440867105704x_{38} = -11.7440867105704
x39=−79.8119275383493x_{39} = -79.8119275383493
x40=−35.8296303880922x_{40} = -35.8296303880922
x41=−81.9063226407425x_{41} = -81.9063226407425
x42=47.9461737076356x_{42} = 47.9461737076356
x43=100.306051267466x_{43} = 100.306051267466
x44=30.1438153372935x_{44} = 30.1438153372935
x45=94.0228659602859x_{45} = 94.0228659602859
x46=80.4092977947302x_{46} = 80.4092977947302
x47=3.96387655737854x_{47} = 3.96387655737854
x48=67.842927180371x_{48} = 67.842927180371
x49=−86.0951128455289x_{49} = -86.0951128455289
x50=32.2382104396867x_{50} = 32.2382104396867
x51=6.05827165977174x_{51} = 6.05827165977174
x52=8.15266676216493x_{52} = 8.15266676216493
x53=96.1172610626791x_{53} = 96.1172610626791
x54=−92.3782981527085x_{54} = -92.3782981527085
x55=28.0494202349003x_{55} = 28.0494202349003
x56=−53.6319887584343x_{56} = -53.6319887584343
x57=65.7485320779778x_{57} = 65.7485320779778
x58=−3.36650630099764x_{58} = -3.36650630099764
x59=38.5213957468663x_{59} = 38.5213957468663
x60=91.9284708578927x_{60} = 91.9284708578927
x61=1.86948145498534x_{61} = 1.86948145498534
x62=56.3237541172084x_{62} = 56.3237541172084
x63=43.7573835028493x_{63} = 43.7573835028493
x64=54.2293590148152x_{64} = 54.2293590148152
x65=−62.0095691680071x_{65} = -62.0095691680071
x66=41.6629884004561x_{66} = 41.6629884004561
x67=98.2116561650723x_{67} = 98.2116561650723
x68=82.5036928971234x_{68} = 82.5036928971234
x69=72.0317173851574x_{69} = 72.0317173851574
x70=−5.46090140339084x_{70} = -5.46090140339084
x71=−24.3104573249296x_{71} = -24.3104573249296
x72=−84.0007177431357x_{72} = -84.0007177431357
x73=21.7662349277207x_{73} = 21.7662349277207
x74=−77.7175324359561x_{74} = -77.7175324359561
x75=−51.5375936560411x_{75} = -51.5375936560411
x76=12.3414569669513x_{76} = 12.3414569669513
x77=−55.7263838608275x_{77} = -55.7263838608275
x78=23.8606300301139x_{78} = 23.8606300301139
x79=10.2470618645581x_{79} = 10.2470618645581
x80=−15.9328769153568x_{80} = -15.9328769153568
x81=−74.5759397823663x_{81} = -74.5759397823663
x82=18.6246422741309x_{82} = 18.6246422741309
x83=224.922559859861x_{83} = 224.922559859861
x84=−64.1039642704003x_{84} = -64.1039642704003
x85=74.1261124875506x_{85} = 74.1261124875506
x86=−99.7086810110846x_{86} = -99.7086810110846
x87=87.7396806531064x_{87} = 87.7396806531064
x88=−49.4431985536479x_{88} = -49.4431985536479
x89=−44.207210797665x_{89} = -44.207210797665
x90=−31.6408401833058x_{90} = -31.6408401833058
x91=−18.02727201775x_{91} = -18.02727201775
x92=−33.735235285699x_{92} = -33.735235285699
x93=−37.9240254904854x_{93} = -37.9240254904854
x94=50.0405688100288x_{94} = 50.0405688100288
x95=60.5125443219948x_{95} = 60.5125443219948
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*cos(3*x) + 5*sin(3*x).
5sin⁡(0⋅3)+4cos⁡(0⋅3)5 \sin{\left(0 \cdot 3 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12sin⁡(3x)+15cos⁡(3x)=0- 12 \sin{\left(3 x \right)} + 15 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(54)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 atan(5/4)    ____ 
(---------, \/ 41 )
     3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(54)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(54)3]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(54)3,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−9(5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x))=0- 9 \left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(45)3x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(45)3]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(45)3,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x))=⟨−9,9⟩\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−9,9⟩y = \left\langle -9, 9\right\rangle
lim⁡x→∞(5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x))=⟨−9,9⟩\lim_{x \to \infty}\left(5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−9,9⟩y = \left\langle -9, 9\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*cos(3*x) + 5*sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)=−5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = - 5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}
- No
5sin⁡(3x)+4cos⁡(3x)=5sin⁡(3x)−4cos⁡(3x)5 \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)} = 5 \sin{\left(3 x \right)} - 4 \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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