Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(cos(x)^2)

Gráfico de la función y = log(cos(x)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   2   \
f(x) = log\cos (x)/
f(x)=log⁡(cos⁡2(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} 
f = log(cos(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡2(x))=0\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=2πx_{3} = 2 \pi
Solución numérica
x1=6.28318528416623x_{1} = 6.28318528416623
x2=−9.42477814652397x_{2} = -9.42477814652397
x3=−25.1327401930409x_{3} = -25.1327401930409
x4=−31.4159260171396x_{4} = -31.4159260171396
x5=−18.8495553258088x_{5} = -18.8495553258088
x6=−53.4070753064322x_{6} = -53.4070753064322
x7=−91.1061859802604x_{7} = -91.1061859802604
x8=−72.256630857317x_{8} = -72.256630857317
x9=−3.14159300683281x_{9} = -3.14159300683281
x10=−53.4070742959952x_{10} = -53.4070742959952
x11=−87.9645943584596x_{11} = -87.9645943584596
x12=18.8495570029843x_{12} = 18.8495570029843
x13=−31.4159267264704x_{13} = -31.4159267264704
x14=47.1238904278493x_{14} = 47.1238904278493
x15=−78.5398159953694x_{15} = -78.5398159953694
x16=−50.2654822771894x_{16} = -50.2654822771894
x17=−59.6902604579606x_{17} = -59.6902604579606
x18=69.1150390127643x_{18} = 69.1150390127643
x19=9.42477834784266x_{19} = 9.42477834784266
x20=−47.1238901689402x_{20} = -47.1238901689402
x21=−94.2477794374461x_{21} = -94.2477794374461
x22=87.9645943360512x_{22} = 87.9645943360512
x23=25.1327418431203x_{23} = 25.1327418431203
x24=−40.8407050959251x_{24} = -40.8407050959251
x25=−91.1061873312798x_{25} = -91.1061873312798
x26=−75.3982226597999x_{26} = -75.3982226597999
x27=−56.5486688343165x_{27} = -56.5486688343165
x28=−65.9734457648386x_{28} = -65.9734457648386
x29=78.5398161731332x_{29} = 78.5398161731332
x30=9.4247769576896x_{30} = 9.4247769576896
x31=−6.28318511692891x_{31} = -6.28318511692891
x32=43.9822971695019x_{32} = 43.9822971695019
x33=−69.1150387500801x_{33} = -69.1150387500801
x34=−12.5663716386669x_{34} = -12.5663716386669
x35=69.1150378238503x_{35} = 69.1150378238503
x36=−81.6814090384469x_{36} = -81.6814090384469
x37=−56.5486674143785x_{37} = -56.5486674143785
x38=62.831852735923x_{38} = 62.831852735923
x39=91.1061864073649x_{39} = 91.1061864073649
x40=−84.8230022649727x_{40} = -84.8230022649727
x41=−37.6991118773736x_{41} = -37.6991118773736
x42=25.1327406563971x_{42} = 25.1327406563971
x43=34.5575190133278x_{43} = 34.5575190133278
x44=94.2477796093522x_{44} = 94.2477796093522
x45=9.42477832891555x_{45} = 9.42477832891555
x46=−62.8318524940769x_{46} = -62.8318524940769
x47=28.2743338651582x_{47} = 28.2743338651582
x48=−15.7079632966706x_{48} = -15.7079632966706
x49=−62.8318536803612x_{49} = -62.8318536803612
x50=−43.9822971744998x_{50} = -43.9822971744998
x51=−100.53096457631x_{51} = -100.53096457631
x52=37.6991120433529x_{52} = 37.6991120433529
x53=−21.991148586432x_{53} = -21.991148586432
x54=−97.3893724664065x_{54} = -97.3893724664065
x55=50.2654824463311x_{55} = 50.2654824463311
x56=40.8407056026057x_{56} = 40.8407056026057
x57=−34.5575202359721x_{57} = -34.5575202359721
x58=84.82300131674x_{58} = 84.82300131674
x59=0x_{59} = 0
x60=75.3982227418079x_{60} = 75.3982227418079
x61=91.106187597873x_{61} = 91.106187597873
x62=21.9911485852153x_{62} = 21.9911485852153
x63=62.8318542034359x_{63} = 62.8318542034359
x64=−12.5663702522378x_{64} = -12.5663702522378
x65=81.681409203672x_{65} = 81.681409203672
x66=12.5663704334084x_{66} = 12.5663704334084
x67=−28.2743336970608x_{67} = -28.2743336970608
x68=31.4159255531763x_{68} = 31.4159255531763
x69=53.4070741478622x_{69} = 53.4070741478622
x70=56.5486675932357x_{70} = 56.5486675932357
x71=−25.1327415878584x_{71} = -25.1327415878584
x72=31.4159269101267x_{72} = 31.4159269101267
x73=−78.5398174338057x_{73} = -78.5398174338057
x74=−75.3982238864105x_{74} = -75.3982238864105
x75=75.39822407273x_{75} = 75.39822407273
x76=−18.8495565116576x_{76} = -18.8495565116576
x77=59.6902606235069x_{77} = 59.6902606235069
x78=−69.1150373853363x_{78} = -69.1150373853363
x79=18.8495555741382x_{79} = 18.8495555741382
x80=3.14159207244778x_{80} = 3.14159207244778
x81=−9.42477796310118x_{81} = -9.42477796310118
x82=72.2566310277163x_{82} = 72.2566310277163
x83=−34.5575188333352x_{83} = -34.5575188333352
x84=−47.1238887896178x_{84} = -47.1238887896178
x85=40.8407041550563x_{85} = 40.8407041550563
x86=−40.8407039100223x_{86} = -40.8407039100223
x87=47.1238892401961x_{87} = 47.1238892401961
x88=100.530964753022x_{88} = 100.530964753022
x89=15.7079634632083x_{89} = 15.7079634632083
x90=−84.8230010779785x_{90} = -84.8230010779785
x91=97.389372654126x_{91} = 97.389372654126
x92=65.9734457530642x_{92} = 65.9734457530642
x93=−3.14159159553391x_{93} = -3.14159159553391
x94=53.4070754913975x_{94} = 53.4070754913975
x95=3.1415932585699x_{95} = 3.1415932585699
x96=97.3893713350675x_{96} = 97.3893713350675
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(x)^2).
log⁡(cos⁡2(0))\log{\left(\cos^{2}{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=0- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)=0- 2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(⟨0,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨0,1⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(⟨0,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨0,1⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(cos⁡2(x))\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(cos⁡2(x))=−log⁡(cos⁡2(x))\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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