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Trazado el gráfico de la función/ cos(x/2)*sin(x/2)+1

Gráfico de la función y = cos(x/2)*sin(x/2)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\    /x\    
f(x) = cos|-|*sin|-| + 1
          \2/    \2/
f(x)=sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 
f = sin(x/2)*cos(x/2) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1=0\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/2)*sin(x/2) + 1.
sin⁡(02)cos⁡(02)+1\sin{\left(\frac{0}{2} \right)} \cos{\left(\frac{0}{2} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2=0- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       
(----, 1/2)
  2        

 pi      
(--, 3/2)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x2)cos⁡(x2)=0- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=πx_{3} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π,0]∪[π,∞)\left[- \pi, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π]∪[0,π]\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/2)*sin(x/2) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1=−sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1
- No
sin⁡(x2)cos⁡(x2)+1=sin⁡(x2)cos⁡(x2)−1\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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