Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x!

Gráfico de la función y = x!

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x!
f(x)=x!f{\left(x \right)} = x! 
f = factorial(x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x!=0x! = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en factorial(x).
0!0!
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
Γ(x+1)polygamma⁡(0,x+1)=0\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.461632144968362x_{1} = 0.461632144968362
Signos de extremos en los puntos:
(0.46163214496836236, 0.885603194410889)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.461632144968362x_{1} = 0.461632144968362
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.461632144968362,∞)\left[0.461632144968362, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.461632144968362]\left(-\infty, 0.461632144968362\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(polygamma⁡2(0,x+1)+polygamma⁡(1,x+1))Γ(x+1)=0\left(\operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,x + 1 \right)} + \operatorname{polygamma}{\left(1,x + 1 \right)}\right) \Gamma\left(x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−40.2739011032667x_{1} = -40.2739011032667

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x!=(−∞)!\lim_{x \to -\infty} x! = \left(-\infty\right)!
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)!y = \left(-\infty\right)!
lim⁡x→∞x!=∞\lim_{x \to \infty} x! = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función factorial(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x!x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x!x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x!=(−x)!x! = \left(- x\right)!
- No
x!=−(−x)!x! = - \left(- x\right)!
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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