Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico