Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos((x+1)/(abs(x)-2))

Gráfico de la función y = arccos((x+1)/(abs(x)-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / x + 1 \
f(x) = acos|-------|
           \|x| - 2/
f(x)=acos⁡(x+1∣x∣−2)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} 
f = acos((x + 1)/(|x| - 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(x+1∣x∣−2)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=−1.5x_{1} = -1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((x + 1)/(|x| - 2)).
acos⁡(1−2+∣0∣)\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{-2 + \left|{0}\right|} \right)}
Resultado:
f(0)=2π3f{\left(0 \right)} = \frac{2 \pi}{3}
Punto:
(0, 2*pi/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−(x+1)sign⁡(x)(∣x∣−2)2+1∣x∣−2−(x+1)2(∣x∣−2)2+1=0- \frac{- \frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left|{x}\right| - 2}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x+1)δ(x)−2(x+1)sign⁡2(x)∣x∣−2−(x+1)((x+1)sign⁡(x)∣x∣−2−1)2(−(x+1)2(∣x∣−2)2+1)(∣x∣−2)+2sign⁡(x)−(x+1)2(∣x∣−2)2+1(∣x∣−2)2=0\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2(x+1)δ(x)−2(x+1)sign⁡2(x)∣x∣−2−(x+1)((x+1)sign⁡(x)∣x∣−2−1)2(−(x+1)2(∣x∣−2)2+1)(∣x∣−2)+2sign⁡(x)−(x+1)2(∣x∣−2)2+1(∣x∣−2)2)=−∞i\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = - \infty i
lim⁡x→−2+(2(x+1)δ(x)−2(x+1)sign⁡2(x)∣x∣−2−(x+1)((x+1)sign⁡(x)∣x∣−2−1)2(−(x+1)2(∣x∣−2)2+1)(∣x∣−2)+2sign⁡(x)−(x+1)2(∣x∣−2)2+1(∣x∣−2)2)=∞i\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(x+1)δ(x)−2(x+1)sign⁡2(x)∣x∣−2−(x+1)((x+1)sign⁡(x)∣x∣−2−1)2(−(x+1)2(∣x∣−2)2+1)(∣x∣−2)+2sign⁡(x)−(x+1)2(∣x∣−2)2+1(∣x∣−2)2)=−∞i\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = - \infty i
lim⁡x→2+(2(x+1)δ(x)−2(x+1)sign⁡2(x)∣x∣−2−(x+1)((x+1)sign⁡(x)∣x∣−2−1)2(−(x+1)2(∣x∣−2)2+1)(∣x∣−2)+2sign⁡(x)−(x+1)2(∣x∣−2)2+1(∣x∣−2)2)=∞i\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(x + 1\right) \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(x + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - 1\right)^{2}}{\left(- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1\right) \left(\left|{x}\right| - 2\right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} + 1} \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(x+1∣x∣−2)=π\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=πy = \pi
lim⁡x→∞acos⁡(x+1∣x∣−2)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((x + 1)/(|x| - 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(x+1∣x∣−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(x+1∣x∣−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(x+1∣x∣−2)=acos⁡(1−x∣x∣−2)\operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{\left|{x}\right| - 2} \right)}
- No
acos⁡(x+1∣x∣−2)=−acos⁡(1−x∣x∣−2)\operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{\left|{x}\right| - 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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