Sr Examen

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ln(|(x-1)/(x+1)|)+6/(x+1)
Trazado el gráfico de la función/ ln(|(x-1)/(x+1)|)+6/(x+1)

Gráfico de la función y = ln(|(x-1)/(x+1)|)+6/(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /|x - 1|\     6  
f(x) = log||-----|| + -----
          \|x + 1|/   x + 1
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1}$$ 
f = log(Abs((x - 1)/(x + 1))) + 6/(x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.916308594722999$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(Abs((x - 1)/(x + 1))) + 6/(x + 1).
$$\log{\left(\left|{- 1^{-1}}\right| \right)} + \frac{6}{1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6$$
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- \frac{x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}{\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right|} - \frac{6}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0.90138771133189)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(Abs((x - 1)/(x + 1))) + 6/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1} = \log{\left(\left|{\frac{x + 1}{x - 1}}\right| \right)} + \frac{6}{1 - x}$$
- No
$$\log{\left(\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| \right)} + \frac{6}{x + 1} = - \log{\left(\left|{\frac{x + 1}{x - 1}}\right| \right)} - \frac{6}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(|(x-1)/(x+1)|)+6/(x+1)
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