Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/sin(x)-1/tan(x)

Gráfico de la función y = 1/sin(x)-1/tan(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1        1   
f(x) = ------ - ------
       sin(x)   tan(x)
f(x)=−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)f{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} 
f = -1/tan(x) + 1/sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)=0- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−43.9822971502571x_{1} = -43.9822971502571
x2=62.8318530717959x_{2} = 62.8318530717959
x3=−69.1150383789754x_{3} = -69.1150383789754
x4=6.28318530717959x_{4} = 6.28318530717959
x5=−100.530964914873x_{5} = -100.530964914873
x6=18.8495559215387x_{6} = 18.8495559215387
x7=94.2477796076938x_{7} = 94.2477796076938
x8=50.2654824574367x_{8} = 50.2654824574367
x9=43.9822971502571x_{9} = 43.9822971502571
x10=100.530964914873x_{10} = 100.530964914873
x11=56.5486677646163x_{11} = 56.5486677646163
x12=37.6991118430775x_{12} = 37.6991118430775
x13=−50.2654824574367x_{13} = -50.2654824574367
x14=−56.5486677646163x_{14} = -56.5486677646163
x15=18.8495559215388x_{15} = 18.8495559215388
x16=−62.8318530717959x_{16} = -62.8318530717959
x17=−81.6814089933346x_{17} = -81.6814089933346
x18=−6.28318530717959x_{18} = -6.28318530717959
x19=−12.5663706143592x_{19} = -12.5663706143592
x20=18.8495559215388x_{20} = 18.8495559215388
x21=−75.398223686155x_{21} = -75.398223686155
x22=−6.28318530717959x_{22} = -6.28318530717959
x23=−69.1150383789755x_{23} = -69.1150383789755
x24=−18.8495559215388x_{24} = -18.8495559215388
x25=62.8318530717959x_{25} = 62.8318530717959
x26=62.8318530717959x_{26} = 62.8318530717959
x27=−56.5486677646163x_{27} = -56.5486677646163
x28=25.1327412287183x_{28} = 25.1327412287183
x29=100.530964914873x_{29} = 100.530964914873
x30=−87.9645943005142x_{30} = -87.9645943005142
x31=75.398223686155x_{31} = 75.398223686155
x32=81.6814089933346x_{32} = 81.6814089933346
x33=6.28318530717959x_{33} = 6.28318530717959
x34=87.9645943005142x_{34} = 87.9645943005142
x35=12.5663706143592x_{35} = 12.5663706143592
x36=69.1150383789755x_{36} = 69.1150383789755
x37=−94.2477796076938x_{37} = -94.2477796076938
x38=25.1327412287183x_{38} = 25.1327412287183
x39=50.2654824574367x_{39} = 50.2654824574367
x40=−37.6991118430775x_{40} = -37.6991118430775
x41=31.4159265358979x_{41} = 31.4159265358979
x42=−81.6814089933346x_{42} = -81.6814089933346
x43=−12.5663706143592x_{43} = -12.5663706143592
x44=56.5486677646163x_{44} = 56.5486677646163
x45=87.9645943005142x_{45} = 87.9645943005142
x46=−94.2477796076938x_{46} = -94.2477796076938
x47=31.4159265358979x_{47} = 31.4159265358979
x48=−25.1327412287183x_{48} = -25.1327412287183
x49=12.5663706143592x_{49} = 12.5663706143592
x50=−100.530964914873x_{50} = -100.530964914873
x51=−25.1327412287183x_{51} = -25.1327412287183
x52=69.1150383789754x_{52} = 69.1150383789754
x53=−31.4159265358979x_{53} = -31.4159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/sin(x) - 1/tan(x).
1sin⁡(0)−1tan⁡(0)\frac{1}{\sin{\left(0 \right)}} - \frac{1}{\tan{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−tan⁡2(x)−1tan⁡2(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)=0- \frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(tan⁡2(x)+1)2tan⁡3(x)+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+1sin⁡(x)+2cos⁡2(x)sin⁡3(x)=0- \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/sin(x) - 1/tan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)=1tan⁡(x)−1sin⁡(x)- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
- No
−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)=−1tan⁡(x)+1sin⁡(x)- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
- Sí
es decir, función
es
impar
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