Sr Examen

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(1-cos(6*x))/(1-cos(4*x))
Trazado el gráfico de la función/ (1-cos(6*x))/(1-cos(4*x))

Gráfico de la función y = (1-cos(6*x))/(1-cos(4*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1 - cos(6*x)
f(x) = ------------
       1 - cos(4*x)
f(x)=1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x)f{\left(x \right)} = \frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}} 
f = (1 - cos(6*x))/(1 - cos(4*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x)=0\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=10.4719754400055x_{1} = 10.4719754400055
x2=19.8967536154132x_{2} = 19.8967536154132
x3=85.8701993931664x_{3} = 85.8701993931664
x4=−70.1622358600752x_{4} = -70.1622358600752
x5=70.1622357638013x_{5} = 70.1622357638013
x6=76.4454211690532x_{6} = 76.4454211690532
x7=−92.1533844367278x_{7} = -92.1533844367278
x8=−58.6430629981683x_{8} = -58.6430629981683
x9=63.879050799395x_{9} = 63.879050799395
x10=−35.6047168941803x_{10} = -35.6047168941803
x11=−2.09439497504799x_{11} = -2.09439497504799
x12=82.7286064986235x_{12} = 82.7286064986235
x13=80.634211419164x_{13} = 80.634211419164
x14=−26.1799387071124x_{14} = -26.1799387071124
x15=−90.058989329145x_{15} = -90.058989329145
x16=90.0589896456344x_{16} = 90.0589896456344
x17=−27.2271363393197x_{17} = -27.2271363393197
x18=54.4542725926074x_{18} = 54.4542725926074
x19=61.7846555975745x_{19} = 61.7846555975745
x20=−79.5870140747814x_{20} = -79.5870140747814
x21=−8.37758012839707x_{21} = -8.37758012839707
x22=−41.887902232616x_{22} = -41.887902232616
x23=−19.8967535753856x_{23} = -19.8967535753856
x24=2.09439532243769x_{24} = 2.09439532243769
x25=4.18879007422839x_{25} = 4.18879007422839
x26=−39.7935068996971x_{26} = -39.7935068996971
x27=70.1622361204652x_{27} = 70.1622361204652
x28=−17.8023583095536x_{28} = -17.8023583095536
x29=98.436569745598x_{29} = 98.436569745598
x30=33.5103218438802x_{30} = 33.5103218438802
x31=−24.0855435646378x_{31} = -24.0855435646378
x32=77.4926188133975x_{32} = 77.4926188133975
x33=−49.2182849024277x_{33} = -49.2182849024277
x34=−83.7758040726661x_{34} = -83.7758040726661
x35=38.7463093600923x_{35} = 38.7463093600923
x36=60.7374579289312x_{36} = 60.7374579289312
x37=16.7551607922785x_{37} = 16.7551607922785
x38=30.3687288699061x_{38} = 30.3687288699061
x39=−68.0678407415963x_{39} = -68.0678407415963
x40=11.5191731078231x_{40} = 11.5191731078231
x41=55.5014702379907x_{41} = 55.5014702379907
x42=26.1799388843991x_{42} = 26.1799388843991
x43=48.1710872080297x_{43} = 48.1710872080297
x44=−57.5958654839663x_{44} = -57.5958654839663
x45=−85.870199099702x_{45} = -85.870199099702
x46=24.0855439566483x_{46} = 24.0855439566483
x47=−48.1710872835387x_{47} = -48.1710872835387
x48=−5.23598777428875x_{48} = -5.23598777428875
x49=−4.18879013079159x_{49} = -4.18879013079159
x50=92.1533847086727x_{50} = 92.1533847086727
x51=17.8023584454278x_{51} = 17.8023584454278
x52=−76.4454211764036x_{52} = -76.4454211764036
x53=99.4837673796075x_{53} = 99.4837673796075
x54=−77.4926188640614x_{54} = -77.4926188640614
x55=68.0678408006026x_{55} = 68.0678408006026
x56=55.50147024588x_{56} = 55.50147024588
x57=−32.4631240332191x_{57} = -32.4631240332191
x58=−93.2005820205566x_{58} = -93.2005820205566
x59=4.18879028446587x_{59} = 4.18879028446587
x60=52.3598774564362x_{60} = 52.3598774564362
x61=8.37758028267448x_{61} = 8.37758028267448
x62=96.3421746276394x_{62} = 96.3421746276394
x63=26.1799387806108x_{63} = 26.1799387806108
x64=48.1710874940178x_{64} = 48.1710874940178
x65=−10.4719754623862x_{65} = -10.4719754623862
x66=74.3510260423281x_{66} = 74.3510260423281
x67=−61.7846554871544x_{67} = -61.7846554871544
x68=33.5103216772935x_{68} = 33.5103216772935
x69=41.8879022068544x_{69} = 41.8879022068544
x70=−13.6135683053286x_{70} = -13.6135683053286
x71=13.6135680959101x_{71} = 13.6135680959101
x72=−99.4837674398407x_{72} = -99.4837674398407
x73=−71.2094334630856x_{73} = -71.2094334630856
x74=24.0855438736632x_{74} = 24.0855438736632
x75=−63.8790505161445x_{75} = -63.8790505161445
x76=39.793507021549x_{76} = 39.793507021549
x77=46.0766923655204x_{77} = 46.0766923655204
x78=83.7758041735064x_{78} = 83.7758041735064
x79=−33.5103217122168x_{79} = -33.5103217122168
x80=−54.4542726045832x_{80} = -54.4542726045832
x81=−98.436569748619x_{81} = -98.436569748619
x82=−11.5191731361528x_{82} = -11.5191731361528
x83=−46.0766921534563x_{83} = -46.0766921534563
x84=−55.5014702881864x_{84} = -55.5014702881864
x85=32.4631240162586x_{85} = 32.4631240162586
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - cos(6*x))/(1 - cos(4*x)).
1−cos⁡(0⋅6)1−cos⁡(0⋅4)\frac{1 - \cos{\left(0 \cdot 6 \right)}}{1 - \cos{\left(0 \cdot 4 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin⁡(6x)1−cos⁡(4x)−4(1−cos⁡(6x))sin⁡(4x)(1−cos⁡(4x))2=0\frac{6 \sin{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}} - \frac{4 \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) \sin{\left(4 x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(6*x))/(1 - cos(4*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(6x)x(1−cos⁡(4x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−cos⁡(6x)x(1−cos⁡(4x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x)=1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x)\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}} = \frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}}
- Sí
1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x)=−1−cos⁡(6x)1−cos⁡(4x)\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}} = - \frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (1-cos(6*x))/(1-cos(4*x))
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