Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x*ctg(x)*3^((1)/(x-2))/(x-1))

Gráfico de la función y = (x*ctg(x)*3^((1)/(x-2))/(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   1  
                 -----
                 x - 2
       x*cot(x)*3     
f(x) = ---------------
            x - 1
f(x)=31x−2xcot⁡(x)x−1f{\left(x \right)} = \frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{x - 1} 
f = (3^(1/(x - 2))*(x*cot(x)))/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000000100000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
31x−2xcot⁡(x)x−1=0\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=42.4115008234622x_{1} = 42.4115008234622
x2=54.9778714378214x_{2} = 54.9778714378214
x3=−86.3937979737193x_{3} = -86.3937979737193
x4=−98.9601685880785x_{4} = -98.9601685880785
x5=29.845130209103x_{5} = 29.845130209103
x6=−42.4115008234622x_{6} = -42.4115008234622
x7=89.5353906273091x_{7} = 89.5353906273091
x8=−95.8185759344887x_{8} = -95.8185759344887
x9=−64.4026493985908x_{9} = -64.4026493985908
x10=14.1371669411541x_{10} = 14.1371669411541
x11=−17.2787595947439x_{11} = -17.2787595947439
x12=48.6946861306418x_{12} = 48.6946861306418
x13=−48.6946861306418x_{13} = -48.6946861306418
x14=−67.5442420521806x_{14} = -67.5442420521806
x15=−32.9867228626928x_{15} = -32.9867228626928
x16=−80.1106126665397x_{16} = -80.1106126665397
x17=83.2522053201295x_{17} = 83.2522053201295
x18=10.9955742875643x_{18} = 10.9955742875643
x19=−7.85398163397448x_{19} = -7.85398163397448
x20=−76.9690200129499x_{20} = -76.9690200129499
x21=98.9601685880785x_{21} = 98.9601685880785
x22=−4.71238898038469x_{22} = -4.71238898038469
x23=36.1283155162826x_{23} = 36.1283155162826
x24=20.4203522483337x_{24} = 20.4203522483337
x25=23.5619449019235x_{25} = 23.5619449019235
x26=51.8362787842316x_{26} = 51.8362787842316
x27=−45.553093477052x_{27} = -45.553093477052
x28=45.553093477052x_{28} = 45.553093477052
x29=−1.5707963267949x_{29} = -1.5707963267949
x30=−10.9955742875643x_{30} = -10.9955742875643
x31=26.7035375555132x_{31} = 26.7035375555132
x32=67.5442420521806x_{32} = 67.5442420521806
x33=92.6769832808989x_{33} = 92.6769832808989
x34=−58.1194640914112x_{34} = -58.1194640914112
x35=73.8274273593601x_{35} = 73.8274273593601
x36=−39.2699081698724x_{36} = -39.2699081698724
x37=95.8185759344887x_{37} = 95.8185759344887
x38=−23.5619449019235x_{38} = -23.5619449019235
x39=−70.6858347057703x_{39} = -70.6858347057703
x40=80.1106126665397x_{40} = 80.1106126665397
x41=58.1194640914112x_{41} = 58.1194640914112
x42=−14.1371669411541x_{42} = -14.1371669411541
x43=32.9867228626928x_{43} = 32.9867228626928
x44=−83.2522053201295x_{44} = -83.2522053201295
x45=7.85398163397448x_{45} = 7.85398163397448
x46=−89.5353906273091x_{46} = -89.5353906273091
x47=−29.845130209103x_{47} = -29.845130209103
x48=76.9690200129499x_{48} = 76.9690200129499
x49=86.3937979737193x_{49} = 86.3937979737193
x50=70.6858347057703x_{50} = 70.6858347057703
x51=−26.7035375555132x_{51} = -26.7035375555132
x52=−36.1283155162826x_{52} = -36.1283155162826
x53=−92.6769832808989x_{53} = -92.6769832808989
x54=−51.8362787842316x_{54} = -51.8362787842316
x55=−73.8274273593601x_{55} = -73.8274273593601
x56=17.2787595947439x_{56} = 17.2787595947439
x57=64.4026493985908x_{57} = 64.4026493985908
x58=−20.4203522483337x_{58} = -20.4203522483337
x59=4.71238898038469x_{59} = 4.71238898038469
x60=−54.9778714378214x_{60} = -54.9778714378214
x61=39.2699081698724x_{61} = 39.2699081698724
x62=−61.261056745001x_{62} = -61.261056745001
x63=61.261056745001x_{63} = 61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x*cot(x))*3^(1/(x - 2)))/(x - 1).
31−2⋅0cot⁡(0)−1\frac{3^{\frac{1}{-2}} \cdot 0 \cot{\left(0 \right)}}{-1}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−31x−2xcot⁡(x)(x−1)2+−31x−2xlog⁡(3)cot⁡(x)(x−2)2+31x−2(x(−cot⁡2(x)−1)+cot⁡(x))x−1=0- \frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{- \frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \log{\left(3 \right)} \cot{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 3^{\frac{1}{x - 2}} \left(x \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + \cot{\left(x \right)}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(31x−2xcot⁡(x)x−1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{x - 1}\right)
lim⁡x→∞(31x−2xcot⁡(x)x−1)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{x - 1}\right) = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x*cot(x))*3^(1/(x - 2)))/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(31x−2cot⁡(x)x−1)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} \cot{\left(x \right)}}{x - 1}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(31x−2cot⁡(x)x−1)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} \cot{\left(x \right)}}{x - 1}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
31x−2xcot⁡(x)x−1=31−x−2xcot⁡(x)−x−1\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{x - 1} = \frac{3^{\frac{1}{- x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{- x - 1}
- No
31x−2xcot⁡(x)x−1=−31−x−2xcot⁡(x)−x−1\frac{3^{\frac{1}{x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{x - 1} = - \frac{3^{\frac{1}{- x - 2}} x \cot{\left(x \right)}}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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