Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ -sqrt((-1+sin(x))/log(x))

Gráfico de la función y = -sqrt((-1+sin(x))/log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _____________
           / -1 + sin(x) 
f(x) = -  /  ----------- 
        \/      log(x)
f(x)=−sin⁡(x)−1log⁡(x)f{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} 
f = -sqrt((sin(x) - 1)/log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-4
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)−1log⁡(x)=0- \sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=51.8362787842316x_{1} = 51.8362787842316
x2=89.5353906273091x_{2} = 89.5353906273091
x3=−98.9601685880785x_{3} = -98.9601685880785
x4=26.7035375555132x_{4} = 26.7035375555132
x5=−17.2787595947439x_{5} = -17.2787595947439
x6=−80.1106126665397x_{6} = -80.1106126665397
x7=−23.5619449019235x_{7} = -23.5619449019235
x8=−36.1283155162826x_{8} = -36.1283155162826
x9=−48.6946861306418x_{9} = -48.6946861306418
x10=26.7035375555133x_{10} = 26.7035375555133
x11=−1317.89811818092x_{11} = -1317.89811818092
x12=39.2699081698724x_{12} = 39.2699081698724
x13=7.85398163397448x_{13} = 7.85398163397448
x14=−61.261056745001x_{14} = -61.261056745001
x15=39.2699081698724x_{15} = 39.2699081698724
x16=−42.4115008234622x_{16} = -42.4115008234622
x17=−73.8274273593601x_{17} = -73.8274273593601
x18=−54.9778714378214x_{18} = -54.9778714378214
x19=76.9690200129499x_{19} = 76.9690200129499
x20=−10.9955742875643x_{20} = -10.9955742875643
x21=−92.6769832808989x_{21} = -92.6769832808989
x22=14.1371669411541x_{22} = 14.1371669411541
x23=58.1194640914112x_{23} = 58.1194640914112
x24=−86.3937979737193x_{24} = -86.3937979737193
x25=−161.792021659874x_{25} = -161.792021659874
x26=64.4026493985908x_{26} = 64.4026493985908
x27=−4.71238898038469x_{27} = -4.71238898038469
x28=0x_{28} = 0
x29=−67.5442420521806x_{29} = -67.5442420521806
x30=−29.845130209103x_{30} = -29.845130209103
x31=45.553093477052x_{31} = 45.553093477052
x32=20.4203522483337x_{32} = 20.4203522483337
x33=95.8185759344887x_{33} = 95.8185759344887
x34=95.8185759344887x_{34} = 95.8185759344887
x35=−10.9955742875643x_{35} = -10.9955742875643
x36=7.85398163397448x_{36} = 7.85398163397448
x37=70.6858347057703x_{37} = 70.6858347057703
x38=83.2522053201295x_{38} = 83.2522053201295
x39=32.9867228626928x_{39} = 32.9867228626928
x40=1.5707963267949x_{40} = 1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sqrt((-1 + sin(x))/log(x)).
−−1+sin⁡(0)log⁡(0)- \sqrt{\frac{-1 + \sin{\left(0 \right)}}{\log{\left(0 \right)}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−1log⁡(x)(cos⁡(x)2log⁡(x)−sin⁡(x)−12xlog⁡(x)2)log⁡(x)sin⁡(x)−1=0- \frac{\sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \log{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{2 x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) \log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=54.9687907887317x_{1} = 54.9687907887317
x2=92.672218195328x_{2} = 92.672218195328
x3=105876.384813324x_{3} = 105876.384813324
x4=36.1128746957578x_{4} = 36.1128746957578
x5=67.5372125149704x_{5} = 67.5372125149704
x6=42.3989123917445x_{6} = 42.3989123917445
x7=105.239272426082x_{7} = 105.239272426082
x8=4.40899221850144x_{8} = 4.40899221850144
x9=17.2380143113818x_{9} = 17.2380143113818
x10=1405.86251621564x_{10} = 1405.86251621564
x11=10.9189889089169x_{11} = 10.9189889089169
x12=86.3886058010304x_{12} = 86.3886058010304
x13=23.5350413719092x_{13} = 23.5350413719092
x14=61.2531220893555x_{14} = 61.2531220893555
x15=73.8211292048637x_{15} = 73.8211292048637
x16=80.1049167349645x_{16} = 80.1049167349645
x17=29.825381255937x_{17} = 29.825381255937
x18=98.9557697946532x_{18} = 98.9557697946532
x19=48.6841128871378x_{19} = 48.6841128871378
Signos de extremos en los puntos:
(54.96879078873169, -0.706502257745723*I)

(92.67221819532799, -0.66452191733501*I)

(105876.38481332375, -0.415764880652709*I)

(36.11287469575779, -0.746719665950384*I)

(67.53721251497045, -0.689022088537765*I)

(42.39891239174453, -0.730562603019032*I)

(105.23927242608235, -0.655385118793013*I)

(4.408992218501442, -1.14771344424588*I)

(17.238014311381793, -0.83795790541402*I)

(1405.862516215639, -0.525283466751179*I)

(10.918988908916917, -0.914011857413088*I)

(86.3886058010304, -0.669733188901692*I)

(23.53504137190919, -0.79567538142989*I)

(61.25312208935551, -0.69714943240997*I)

(73.82112920486367, -0.68186054518988*I)

(80.1049167349645, -0.675477355192584*I)

(29.825381255936964, -0.76745147726106*I)

(98.95576979465315, -0.659761006593489*I)

(48.68411288713783, -0.717453405772284*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)−1log⁡(x)(−sin⁡(x)2+(cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x))24(sin⁡(x)−1)−(cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x))cos⁡(x)2(sin⁡(x)−1)+cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x)2xlog⁡(x)−cos⁡(x)xlog⁡(x)+sin⁡(x)−12x2log⁡(x)+sin⁡(x)−1x2log⁡(x)2)sin⁡(x)−1=0- \frac{\sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right)^{2}}{4 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}}{2 x \log{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{2 x^{2} \log{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14.0286593097354x_{1} = 14.0286593097354
x2=45.5300781620823x_{2} = 45.5300781620823
x3=26.6577843766888x_{3} = 26.6577843766888
x4=95.8094245534896x_{4} = 95.8094245534896
x5=76.9570515813737x_{5} = 76.9570515813737
x6=64.3877314106626x_{6} = 64.3877314106626
x7=89.5254489773743x_{7} = 89.5254489773743
x8=39.2421200219033x_{8} = 39.2421200219033
x9=83.2413370346988x_{9} = 83.2413370346988
x10=70.6725409823328x_{10} = 70.6725409823328
x11=32.9519685568868x_{11} = 32.9519685568868
x12=51.8167199138836x_{12} = 51.8167199138836
x13=58.1025137227297x_{13} = 58.1025137227297
x14=20.3550044076098x_{14} = 20.3550044076098
x15=7.58742348198652x_{15} = 7.58742348198652
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−sin⁡(x)−1log⁡(x)(−sin⁡(x)2+(cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x))24(sin⁡(x)−1)−(cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x))cos⁡(x)2(sin⁡(x)−1)+cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x)2xlog⁡(x)−cos⁡(x)xlog⁡(x)+sin⁡(x)−12x2log⁡(x)+sin⁡(x)−1x2log⁡(x)2)sin⁡(x)−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{\sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right)^{2}}{4 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}}{2 x \log{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{2 x^{2} \log{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(−sin⁡(x)−1log⁡(x)(−sin⁡(x)2+(cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x))24(sin⁡(x)−1)−(cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x))cos⁡(x)2(sin⁡(x)−1)+cos⁡(x)−sin⁡(x)−1xlog⁡(x)2xlog⁡(x)−cos⁡(x)xlog⁡(x)+sin⁡(x)−12x2log⁡(x)+sin⁡(x)−1x2log⁡(x)2)sin⁡(x)−1)=−∞i\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right)^{2}}{4 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}}{2 x \log{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{2 x^{2} \log{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)−1log⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)−1log⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt((-1 + sin(x))/log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)−1log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)−1log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)−1log⁡(x)=−−sin⁡(x)−1log⁡(−x)- \sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} = - \sqrt{\frac{- \sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(- x \right)}}}
- No
−sin⁡(x)−1log⁡(x)=−sin⁡(x)−1log⁡(−x)- \sqrt{\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}} = \sqrt{\frac{- \sin{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(- x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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