Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x*exp((-x^2)/2)

Gráfico de la función y = x*exp((-x^2)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2 
          -x  
          ----
           2  
f(x) = x*e
f(x)=xe(−1)x22f{\left(x \right)} = x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} 
f = x*exp((-x^2)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xe(−1)x22=0x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=80.5029780991381x_{1} = 80.5029780991381
x2=82.4968425477036x_{2} = 82.4968425477036
x3=13.8305646213614x_{3} = 13.8305646213614
x4=40.7523965392307x_{4} = 40.7523965392307
x5=−84.2334824940775x_{5} = -84.2334824940775
x6=76.5162106782208x_{6} = 76.5162106782208
x7=86.4854219951314x_{7} = 86.4854219951314
x8=−54.362591820007x_{8} = -54.362591820007
x9=21.2345123835376x_{9} = 21.2345123835376
x10=−56.3497113142373x_{10} = -56.3497113142373
x11=−7.6886044567655x_{11} = -7.6886044567655
x12=15.6247818795334x_{12} = 15.6247818795334
x13=66.5562459808845x_{13} = 66.5562459808845
x14=−30.6488081209205x_{14} = -30.6488081209205
x15=−78.2513955147154x_{15} = -78.2513955147154
x16=−72.2722807950237x_{16} = -72.2722807950237
x17=48.6697660202548x_{17} = 48.6697660202548
x18=38.7783713446935x_{18} = 38.7783713446935
x19=−32.6088462722306x_{19} = -32.6088462722306
x20=−13.5703851876112x_{20} = -13.5703851876112
x21=50.6531744084895x_{21} = 50.6531744084895
x22=27.0151495573047x_{22} = 27.0151495573047
x23=19.3379596244699x_{23} = 19.3379596244699
x24=−48.4076116917235x_{24} = -48.4076116917235
x25=88.4800986212492x_{25} = 88.4800986212492
x26=0x_{26} = 0
x27=−26.7467597908737x_{27} = -26.7467597908737
x28=−50.3914159606663x_{28} = -50.3914159606663
x29=74.5233591950223x_{29} = 74.5233591950223
x30=−40.4883834667848x_{30} = -40.4883834667848
x31=60.5866054706585x_{31} = 60.5866054706585
x32=−80.2451271074651x_{32} = -80.2451271074651
x33=−17.1969684851483x_{33} = -17.1969684851483
x34=9.02289694337605x_{34} = 9.02289694337605
x35=12.1040591364533x_{35} = 12.1040591364533
x36=68.5473054354995x_{36} = 68.5473054354995
x37=−42.4653421912683x_{37} = -42.4653421912683
x38=−36.5420283825472x_{38} = -36.5420283825472
x39=−28.6943596043799x_{39} = -28.6943596043799
x40=−94.2086933283192x_{40} = -94.2086933283192
x41=34.8392502079753x_{41} = 34.8392502079753
x42=−58.3377124249816x_{42} = -58.3377124249816
x43=98.4567232107033x_{43} = 98.4567232107033
x44=−19.0686408223086x_{44} = -19.0686408223086
x45=84.4909972102885x_{45} = 84.4909972102885
x46=−92.2132213430942x_{46} = -92.2132213430942
x47=−96.2043534607085x_{47} = -96.2043534607085
x48=−66.2969435075443x_{48} = -66.2969435075443
x49=−98.2001902620909x_{49} = -98.2001902620909
x50=−100.196193168581x_{50} = -100.196193168581
x51=−64.3061861108853x_{51} = -64.3061861108853
x52=−82.2391633180928x_{52} = -82.2391633180928
x53=100.45260622169x_{53} = 100.45260622169
x54=−76.2579924560991x_{54} = -76.2579924560991
x55=28.9620890166341x_{55} = 28.9620890166341
x56=36.8071620516744x_{56} = 36.8071620516744
x57=−52.3764545425553x_{57} = -52.3764545425553
x58=−88.2228929179074x_{58} = -88.2228929179074
x59=−38.5138150497611x_{59} = -38.5138150497611
x60=−46.4252005910588x_{60} = -46.4252005910588
x61=92.4701421572582x_{61} = 92.4701421572582
x62=46.6877762829739x_{62} = 46.6877762829739
x63=62.5758396530863x_{63} = 62.5758396530863
x64=7.83657923190551x_{64} = 7.83657923190551
x65=70.5388712182941x_{65} = 70.5388712182941
x66=42.7288452402976x_{66} = 42.7288452402976
x67=90.4750104191475x_{67} = 90.4750104191475
x68=32.8752332341382x_{68} = 32.8752332341382
x69=−8.82065718477295x_{69} = -8.82065718477295
x70=78.5094259967043x_{70} = 78.5094259967043
x71=−11.8535751456397x_{71} = -11.8535751456397
x72=−22.8793491121891x_{72} = -22.8793491121891
x73=10.4810551180426x_{73} = 10.4810551180426
x74=−20.9648808652053x_{74} = -20.9648808652053
x75=44.7073945322353x_{75} = 44.7073945322353
x76=−44.4443699549213x_{76} = -44.4443699549213
x77=52.6378406446428x_{77} = 52.6378406446428
x78=−60.3265078154327x_{78} = -60.3265078154327
x79=94.4654798903143x_{79} = 94.4654798903143
x80=−70.2800343339193x_{80} = -70.2800343339193
x81=−10.247960314217x_{81} = -10.247960314217
x82=−34.5735053916839x_{82} = -34.5735053916839
x83=72.5309015703522x_{83} = 72.5309015703522
x84=58.5981051512238x_{84} = 58.5981051512238
x85=96.4610108264976x_{85} = 96.4610108264976
x86=−15.3593372555059x_{86} = -15.3593372555059
x87=−62.3160212977879x_{87} = -62.3160212977879
x88=−90.2179499984874x_{88} = -90.2179499984874
x89=17.465102009593x_{89} = 17.465102009593
x90=56.6104161729572x_{90} = 56.6104161729572
x91=25.0766626196802x_{91} = 25.0766626196802
x92=−68.2882415884721x_{92} = -68.2882415884721
x93=23.1487959086869x_{93} = 23.1487959086869
x94=64.5657397621909x_{94} = 64.5657397621909
x95=54.623627287895x_{95} = 54.623627287895
x96=−74.2649444149412x_{96} = -74.2649444149412
x97=−24.8076741592432x_{97} = -24.8076741592432
x98=30.9158612891769x_{98} = 30.9158612891769
x99=−86.228064985273x_{99} = -86.228064985273
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*exp((-x^2)/2).
0e(−1)0220 e^{\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2e(−1)x22+e(−1)x22=0- x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
       -1/2 
(-1, -e    )

     -1/2 
(1, e    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(x2−3)e−x22=0x \left(x^{2} - 3\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3,0]∪[3,∞)\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3]∪[0,3]\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xe(−1)x22)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xe(−1)x22)=0\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*exp((-x^2)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e(−1)x22=0\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e(−1)x22=0\lim_{x \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xe(−1)x22=−xe(−1)x22x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = - x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}
- No
xe(−1)x22=xe(−1)x22x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}
- Sí
es decir, función
es
impar
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