Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x)-x^1/2

Gráfico de la función y = 2*sin(x)-x^1/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    ___
f(x) = 2*sin(x) - \/ x
f(x)=−x+2sin⁡(x)f{\left(x \right)} = - \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)} 
f = -sqrt(x) + 2*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+2sin⁡(x)=0- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=0.255512327649307x_{2} = 0.255512327649307
x3=2.28476139001907x_{3} = 2.28476139001907
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x) - sqrt(x).
2sin⁡(0)−02 \sin{\left(0 \right)} - \sqrt{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2cos⁡(x)−12x=02 \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=64.3714846556612x_{1} = 64.3714846556612
x2=55.0115842671718x_{2} = 55.0115842671718
x3=14.0704697179923x_{3} = 14.0704697179923
x4=58.0866560931407x_{4} = 58.0866560931407
x5=51.801536684942x_{5} = 51.801536684942
x6=29.8908729488285x_{6} = 29.8908729488285
x7=61.2929947969716x_{7} = 61.2929947969716
x8=11.0707816484231x_{8} = 11.0707816484231
x9=1.35428348270738x_{9} = 1.35428348270738
x10=76.9405149976058x_{10} = 76.9405149976058
x11=20.3649252971819x_{11} = 20.3649252971819
x12=36.1698961908333x_{12} = 36.1698961908333
x13=26.6550958136891x_{13} = 26.6550958136891
x14=32.9431521310349x_{14} = 32.9431521310349
x15=42.4498811263225x_{15} = 42.4498811263225
x16=39.2299830403854x_{16} = 39.2299830403854
x17=48.7305066949943x_{17} = 48.7305066949943
x18=95.7930300884567x_{18} = 95.7930300884567
x19=80.1385429764608x_{19} = 80.1385429764608
x20=86.4206937136018x_{20} = 86.4206937136018
x21=98.9852990442639x_{21} = 98.9852990442639
x22=17.3388342542722x_{22} = 17.3388342542722
x23=92.7029514924176x_{23} = 92.7029514924176
x24=83.2247979095002x_{24} = 83.2247979095002
x25=45.5160290520449x_{25} = 45.5160290520449
x26=73.8565215885255x_{26} = 73.8565215885255
x27=4.82643200135869x_{27} = 4.82643200135869
x28=7.76413998307638x_{28} = 7.76413998307638
x29=23.6134146899482x_{29} = 23.6134146899482
x30=89.5089630531631x_{30} = 89.5089630531631
x31=70.6560886587342x_{31} = 70.6560886587342
x32=67.5746589589638x_{32} = 67.5746589589638
Signos de extremos en los puntos:
(64.37148465566122, -6.02415535938781)

(55.011584267171756, -9.41584300988818)

(14.0704697179923, -1.75550934926236)

(58.086656093140746, -5.62253650185935)

(51.80153668494199, -5.19853533287458)

(29.890872948828505, -7.46516257459317)

(61.29299479697157, -9.82796432373906)

(11.070781648423111, -5.32162493299413)

(1.3542834827073849, 0.789568168411986)

(76.94051499760576, -6.77238674082132)

(20.364925297181856, -2.51582277145399)

(36.16989619083329, -8.01241264768118)

(26.655095813689073, -3.16520347387189)

(32.94315213103486, -3.7415106502378)

(42.44988112632245, -8.51388446230164)

(39.229983040385385, -4.26497811628135)

(48.73050669499428, -8.97944096210597)

(95.7930300884567, -7.78804393798728)

(80.1385429764608, -10.9512332961473)

(86.42069371360185, -11.2955497715927)

(98.98529904426394, -11.9485040862254)

(17.33883425427221, -6.16038470629847)

(92.7029514924176, -11.6275628853647)

(83.22479790950024, -7.12351374399538)

(45.51602905204488, -4.74793044371694)

(73.85652158852551, -10.5931352930189)

(4.826432001358688, -4.18392247900069)

(7.764139983076383, -0.794486734584469)

(23.613414689948215, -6.85671505526052)

(89.50896305316309, -7.46161604045946)

(70.65608865873425, -6.40660237919129)

(67.57465895896375, -10.2194555895599)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=55.0115842671718x_{1} = 55.0115842671718
x2=29.8908729488285x_{2} = 29.8908729488285
x3=61.2929947969716x_{3} = 61.2929947969716
x4=11.0707816484231x_{4} = 11.0707816484231
x5=36.1698961908333x_{5} = 36.1698961908333
x6=42.4498811263225x_{6} = 42.4498811263225
x7=48.7305066949943x_{7} = 48.7305066949943
x8=80.1385429764608x_{8} = 80.1385429764608
x9=86.4206937136018x_{9} = 86.4206937136018
x10=98.9852990442639x_{10} = 98.9852990442639
x11=17.3388342542722x_{11} = 17.3388342542722
x12=92.7029514924176x_{12} = 92.7029514924176
x13=73.8565215885255x_{13} = 73.8565215885255
x14=4.82643200135869x_{14} = 4.82643200135869
x15=23.6134146899482x_{15} = 23.6134146899482
x16=67.5746589589638x_{16} = 67.5746589589638
Puntos máximos de la función:
x16=64.3714846556612x_{16} = 64.3714846556612
x16=14.0704697179923x_{16} = 14.0704697179923
x16=58.0866560931407x_{16} = 58.0866560931407
x16=51.801536684942x_{16} = 51.801536684942
x16=1.35428348270738x_{16} = 1.35428348270738
x16=76.9405149976058x_{16} = 76.9405149976058
x16=20.3649252971819x_{16} = 20.3649252971819
x16=26.6550958136891x_{16} = 26.6550958136891
x16=32.9431521310349x_{16} = 32.9431521310349
x16=39.2299830403854x_{16} = 39.2299830403854
x16=95.7930300884567x_{16} = 95.7930300884567
x16=83.2247979095002x_{16} = 83.2247979095002
x16=45.5160290520449x_{16} = 45.5160290520449
x16=7.76413998307638x_{16} = 7.76413998307638
x16=89.5089630531631x_{16} = 89.5089630531631
x16=70.6560886587342x_{16} = 70.6560886587342
Decrece en los intervalos
[98.9852990442639,∞)\left[98.9852990442639, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4.82643200135869]\left(-\infty, 4.82643200135869\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x)+14x32=0- 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18.8510831560103x_{1} = 18.8510831560103
x2=47.1235033891215x_{2} = 47.1235033891215
x3=87.9647458125161x_{3} = 87.9647458125161
x4=34.556903859893x_{4} = 34.556903859893
x5=3.11889683859811x_{5} = 3.11889683859811
x6=75.3984146128674x_{6} = 75.3984146128674
x7=81.6815783194066x_{7} = 81.6815783194066
x8=97.3892422013481x_{8} = 97.3892422013481
x9=9.42045477834126x_{9} = 9.42045477834126
x10=94.2479162239497x_{10} = 94.2479162239497
x11=78.5396367520058x_{11} = 78.5396367520058
x12=12.5691757275179x_{12} = 12.5691757275179
x13=69.1152559239903x_{13} = 69.1152559239903
x14=50.2658332098705x_{14} = 50.2658332098705
x15=91.106043210266x_{15} = 91.106043210266
x16=53.4067548414128x_{16} = 53.4067548414128
x17=72.2564275180978x_{17} = 72.2564275180978
x18=59.6899893629919x_{18} = 59.6899893629919
x19=15.7059550364243x_{19} = 15.7059550364243
x20=56.5489617143467x_{20} = 56.5489617143467
x21=84.8228416392591x_{21} = 84.8228416392591
x22=62.8321040509278x_{22} = 62.8321040509278
x23=31.4166363923286x_{23} = 31.4166363923286
x24=21.9899363754621x_{24} = 21.9899363754621
x25=28.2735024236751x_{25} = 28.2735024236751
x26=43.9827256857687x_{26} = 43.9827256857687
x27=6.29110710832523x_{27} = 6.29110710832523
x28=65.9732124555576x_{28} = 65.9732124555576
x29=40.8402255602826x_{29} = 40.8402255602826
x30=25.1337332582065x_{30} = 25.1337332582065
x31=37.6996518558409x_{31} = 37.6996518558409
x32=100.531088925652x_{32} = 100.531088925652

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[97.3892422013481,∞)\left[97.3892422013481, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3.11889683859811]\left(-\infty, 3.11889683859811\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+2sin⁡(x))=⟨−2,2⟩−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩−∞iy = \left\langle -2, 2\right\rangle - \infty i
lim⁡x→∞(−x+2sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) - sqrt(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+2sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−x+2sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+2sin⁡(x)=−−x−2sin⁡(x)- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)} = - \sqrt{- x} - 2 \sin{\left(x \right)}
- No
−x+2sin⁡(x)=−x+2sin⁡(x)- \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)} = \sqrt{- x} + 2 \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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