Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(⁡4x)+4cos(⁡2x)

Gráfico de la función y = sin(⁡4x)+4cos(⁡2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(4*x) + 4*cos(2*x)
f(x)=sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(4*x) + 4*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)=0\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=2.35619449019234x_{1} = 2.35619449019234
x2=−11.7809724509617x_{2} = -11.7809724509617
x3=−38.484510006475x_{3} = -38.484510006475
x4=11.7809724509617x_{4} = 11.7809724509617
x5=46.3384916404494x_{5} = 46.3384916404494
x6=−88.7499924639117x_{6} = -88.7499924639117
x7=36.9137136796801x_{7} = 36.9137136796801
x8=40.0553063332699x_{8} = 40.0553063332699
x9=−68.329640215578x_{9} = -68.329640215578
x10=−32.2013246992954x_{10} = -32.2013246992954
x11=−25.9181393921158x_{11} = -25.9181393921158
x12=58.9048622548086x_{12} = 58.9048622548086
x13=33.7721210260903x_{13} = 33.7721210260903
x14=96.6039740978861x_{14} = 96.6039740978861
x15=55.7632696012188x_{15} = 55.7632696012188
x16=71.4712328691678x_{16} = 71.4712328691678
x17=5.49778714378214x_{17} = 5.49778714378214
x18=−29.0597320457056x_{18} = -29.0597320457056
x19=−18.0641577581413x_{19} = -18.0641577581413
x20=−69.9004365423729x_{20} = -69.9004365423729
x21=18.0641577581413x_{21} = 18.0641577581413
x22=−85.6083998103219x_{22} = -85.6083998103219
x23=21.2057504117311x_{23} = 21.2057504117311
x24=47.9092879672443x_{24} = 47.9092879672443
x25=76.1836218495525x_{25} = 76.1836218495525
x26=−62.0464549083984x_{26} = -62.0464549083984
x27=32.2013246992954x_{27} = 32.2013246992954
x28=−7.06858347057703x_{28} = -7.06858347057703
x29=62.0464549083984x_{29} = 62.0464549083984
x30=−33.7721210260903x_{30} = -33.7721210260903
x31=52.621676947629x_{31} = 52.621676947629
x32=−66.7588438887831x_{32} = -66.7588438887831
x33=−63.6172512351933x_{33} = -63.6172512351933
x34=−16.4933614313464x_{34} = -16.4933614313464
x35=−10.2101761241668x_{35} = -10.2101761241668
x36=−24.3473430653209x_{36} = -24.3473430653209
x37=−47.9092879672443x_{37} = -47.9092879672443
x38=−73.0420291959627x_{38} = -73.0420291959627
x39=10.2101761241668x_{39} = 10.2101761241668
x40=99.7455667514759x_{40} = 99.7455667514759
x41=−5.49778714378214x_{41} = -5.49778714378214
x42=24.3473430653209x_{42} = 24.3473430653209
x43=−82.4668071567321x_{43} = -82.4668071567321
x44=−76.1836218495525x_{44} = -76.1836218495525
x45=−60.4756585816035x_{45} = -60.4756585816035
x46=−93.4623814442964x_{46} = -93.4623814442964
x47=−57.3340659280137x_{47} = -57.3340659280137
x48=82.4668071567321x_{48} = 82.4668071567321
x49=98.174770424681x_{49} = 98.174770424681
x50=8.63937979737193x_{50} = 8.63937979737193
x51=−54.1924732744239x_{51} = -54.1924732744239
x52=−35.3429173528852x_{52} = -35.3429173528852
x53=−51.0508806208341x_{53} = -51.0508806208341
x54=−98.174770424681x_{54} = -98.174770424681
x55=80.8960108299372x_{55} = 80.8960108299372
x56=38.484510006475x_{56} = 38.484510006475
x57=−49.4800842940392x_{57} = -49.4800842940392
x58=49.4800842940392x_{58} = 49.4800842940392
x59=−95.0331777710912x_{59} = -95.0331777710912
x60=−27.4889357189107x_{60} = -27.4889357189107
x61=27.4889357189107x_{61} = 27.4889357189107
x62=−84.037603483527x_{62} = -84.037603483527
x63=−41.6261026600648x_{63} = -41.6261026600648
x64=−91.8915851175014x_{64} = -91.8915851175014
x65=77.7544181763474x_{65} = 77.7544181763474
x66=60.4756585816035x_{66} = 60.4756585816035
x67=14.9225651045515x_{67} = 14.9225651045515
x68=25.9181393921158x_{68} = 25.9181393921158
x69=−90.3207887907066x_{69} = -90.3207887907066
x70=−55.7632696012188x_{70} = -55.7632696012188
x71=−19.6349540849362x_{71} = -19.6349540849362
x72=−13.3517687777566x_{72} = -13.3517687777566
x73=91.8915851175014x_{73} = 91.8915851175014
x74=−3.92699081698724x_{74} = -3.92699081698724
x75=−77.7544181763474x_{75} = -77.7544181763474
x76=−79.3252145031423x_{76} = -79.3252145031423
x77=90.3207887907066x_{77} = 90.3207887907066
x78=−40.0553063332699x_{78} = -40.0553063332699
x79=30.6305283725005x_{79} = 30.6305283725005
x80=3.92699081698724x_{80} = 3.92699081698724
x81=69.9004365423729x_{81} = 69.9004365423729
x82=54.1924732744239x_{82} = 54.1924732744239
x83=−46.3384916404494x_{83} = -46.3384916404494
x84=84.037603483527x_{84} = 84.037603483527
x85=93.4623814442964x_{85} = 93.4623814442964
x86=68.329640215578x_{86} = 68.329640215578
x87=74.6128255227576x_{87} = 74.6128255227576
x88=−71.4712328691678x_{88} = -71.4712328691678
x89=−2.35619449019234x_{89} = -2.35619449019234
x90=−99.7455667514759x_{90} = -99.7455667514759
x91=16.4933614313464x_{91} = 16.4933614313464
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(4*x) + 4*cos(2*x).
sin⁡(0⋅4)+4cos⁡(0⋅2)\sin{\left(0 \cdot 4 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8sin⁡(2x)+4cos⁡(4x)=0- 8 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−16(sin⁡(4x)+cos⁡(2x))=0- 16 \left(\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−5π12x_{2} = - \frac{5 \pi}{12}
x3=−π4x_{3} = - \frac{\pi}{4}
x4=−π12x_{4} = - \frac{\pi}{12}
x5=π4x_{5} = \frac{\pi}{4}
x6=7π12x_{6} = \frac{7 \pi}{12}
x7=3π4x_{7} = \frac{3 \pi}{4}
x8=11π12x_{8} = \frac{11 \pi}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(4x)+4cos⁡(2x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(4x)+4cos⁡(2x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*x) + 4*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)=−sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(4x)+4cos⁡(2x)=sin⁡(4x)−4cos⁡(2x)\sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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